2017 年湖北预赛 · 第 6 题

解答

取 $C=(0,0,0),B=(0,2,0),C_1=(0,0,2),A_1=(4\sqrt{2},0,2)$。$C$ 到直线 $B{C}_1$ 的垂足为 $H=(0,1,1)$，垂距 $\sqrt{2}$；$A_1$ 的垂足为 $J=C_1$，垂距 $4\sqrt{2}$，且 $HJ=\sqrt{2}$。令 $P$ 在以 $H$ 为原点、向 $J$ 为正向的直线坐标为 $w$，则 $w\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$，有 $CP+P{A}_1=\sqrt{w^2+2}+\sqrt{(\sqrt{2}-w{)}^2+32}\ge \sqrt{2+50}=2\sqrt{13}$。等号对应两个平面向量 $(w,\sqrt{2}),(\sqrt{2}-w,4\sqrt{2})$ 同向，得 $w=\sqrt{2}/5$，即 $P=(0,4/5,6/5)$，确在线段内。所以 $\boxed{(CP+P{A}_1{)}_{\min }=2\sqrt{13}}$。