易混 2016 年中科大少年班初试 第 4 题 · P009995
两题展开和角后都能把一个正切写成另一个正切的有理式，再求正变量上的最值。相似的代数步骤之前，角域依据不同：前题没有给出第三角的额外关系，后题则必须从原条件判定第三角的钝性。
一题只给两个锐角，另一题给完整内角组；取等时前者核原等式，后者还必须补齐合法第三角。
培玉 · 一试
2024 年广东预赛
F3填空题三角函数综合
若 为锐角且
则 的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
展开 ，把 表成 的有理函数后直接求最大值。
解答
展开题设等式并整理，得
由于 均为锐角，故
令 ，则
其导数为
所以函数在 上递增、在 上递减。最大值为
复核
取 、 时， 都是锐角，且由推导出的等价式可知原等式成立。
方法总结
三角等式要求角的正切极值时，先展开和角公式，再以 有理化，通常能把问题降为一元函数极值。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需先把条件解为tan A关于tan B的分式，保留正参数范围后求极值并验证对应锐角存在。
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