2026 年甘肃预赛

解答

(1) 设 $H$ 为点 $P$ 在平面 $ABCD$ 上的正投影。因为 $PD=2$，且 $PD$ 与底面 所成角为 $60^{\circ }$，所以

向量 $\overrightarrow{DP}$ 在底面上的投影为 $\overrightarrow{DH}$，而 $\overrightarrow{DC}$ 位于底面内，故

又 $DH=1,DC=2$，所以 $\overrightarrow{DH}$ 与 $\overrightarrow{DC}$ 方向相反，即 $H,D,C$ 共线。于是垂直于底面的直线 $PH$ 位于平面 $PCD$ 内。因此

(2) 以 $D$ 为原点，取 $DC$ 所在直线为 $x$ 轴，底面内与之垂直的方向为 $y$ 轴， $PH$ 的方向为 $z$ 轴。可取

设

平面 $PAD$ 的一个法向量为

由 $CQ\Vert$ 平面 $PAD$，

代入

可得

从而 $t=2/3$，即

现在

故平面 $AQC$ 的一个法向量为

直线 $AB$ 的方向向量可取 $\vec{e}=(1,0,0)$。设直线 $AB$ 与平面 $AQC$ 所成角为 $\alpha$，则