2010 年中科大少年班初试 · 第 12 题

解答

写 $A=(2a,a^2),D=(-2a,a^2),B=(2b,b^2),C=(2c,c^2)$，其中四个参数互异。由 $BC$ 平行于 $D$ 处切线得 $b+c=-2a$，所以 $a+c=-(a+b)$。点 $D$ 到 $AB$ 的距离是 $4|a||a+b|/\sqrt{4+(a+b{)}^2}$，到 $AC$ 的距离相同，而 $AD=4|a|$。距离和条件给 $(a+b{)}^2=4$，所以 $AB,AC$ 的斜率分别为正负一，$\boxed{△ABC\text{ 是直角三角形}}$，直角在 $A$。进一步 $b=-a\pm 2,c=-a\mp 2$，行列式面积为 $|(b-a)(c-a)(c-b)|=16|a^2-1|$。给定面积二百四十，得 $a^2=16$。因此两组答案是 $\boxed{A=(8,16),BC:y=-4x-12}$ 或 $\boxed{A=(-8,16),BC:y=4x-12}$。