2009 年黑龙江预赛 · 第 21 题

解答

（1）设 $P=(x,y)$，$c^2=a^2+b^2$。首个向量式给 $M=(x,y+c)$，故 $y+c=\pm a^2/c$。若 $x\ne 0$，第二个向量式的横分量给 $\lambda =|F_{1}P|$，纵分量继而给 $|F_{1}P|=c$。下支的近焦半径为 $|F_{1}P|=-(c/a)y-a$，故 $y=-a-a^2/c$。若 $M$ 在上准线，得到 $c^2-ac-2a^2=0$，即 $e=2$；下准线只会给 $c=a$，不成立。若 $x=0$，下支点只能是 $P=(0,-a)$，此时 $M=(0,c-a)$ 在上准线上，条件为 $c-a=a^2/c$，所以 $e=\phi =(1+\sqrt{5})/2$。原第二向量式此时取 $\lambda =(2c-a)/2>0$ 即满足。因此 $\boxed{e\in \{2,\phi \}}$。（2）记 $A_0=a^2,B_0=b^2$。过 $N$ 的条件为 $4/A_0-3/B_0=1$。当 $e=2$ 时，$A_0=3,B_0=9$；当 $e=\phi$ 时，$B_0/A_0=\phi$，得 $A_0=(11-3\sqrt{5})/2,B_0=2\sqrt{5}-1$。因此有两条双曲线：$\boxed{y^2/3-x^2/9=1}$ 或 $\boxed{y^2/((11-3\sqrt{5})/2)-x^2/(2\sqrt{5}-1)=1}$。（3）对任一上述参数，非竖直的 $AB$ 经过 $B_2=(b,0)$，写 $y=k(x-b)$。联立后，两横坐标根积为 $b^2$，根和为 $2b^3{k}^2/(b^2{k}^2-a^2)$。相对于 $B_1=(-b,0)$ 的点积为 $2b^2((2b^2-a^2)k^2-a^2)/(b^2{k}^2-a^2)$。所以 $k^2=a^2/(2b^2-a^2)$。第一条双曲线给 $\boxed{y=\pm (x-3)/\sqrt{5}}$；第二条给 $\boxed{y=\pm 5^{-1/4}(x-\sqrt{2\sqrt{5}-1})}$。