2018 年湖南预赛

第5题（填空题）

如图，将边长为 $1$ 的正三角形分成四个全等的正三角形。第一次挖去中间一个小正三角形，再从剩下的三个小正三角形中分别挖去中间小三角形，保留它们的边，重复此过程得到谢尔宾斯基三角垫。设 $A_n$ 为第 $n$ 次挖去的小三角形面积之和，求前 $n$ 次挖去的所有小三角形面积之和。