2017 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 8 题

解答

由 $b_{10}=2^9{b}_1<2017$ 得 $b_1\in \{1,2,3\}$。展开递推式得到

模 $34$ 化简，并利用 $13\times 21\equiv 1(\mathrm{mod}34)$，得

又 $0<a_1<a_2$，故 $55a_1<512b_1$。 若 $b_1=1$，则 $a_1\equiv 26(\mathrm{mod}34)$ 且 $0<a_1<512/55<10$，无解。 若 $b_1=2$，则 $a_1\equiv 18(\mathrm{mod}34)$ 且 $0<a_1<1024/55<19$，只能取 $a_1=18$，继而 $a_2=19$。 若 $b_1=3$，则 $a_1\equiv 10(\mathrm{mod}34)$ 且 $0<a_1<1536/55<28$，只能取 $a_1=10$，继而 $a_2=39$。 两组首两项均为正整数且 $a_2>a_1$，后续各项由相加递推，始终严格递增；对应 $b_n=2^{n-1}{b}_1$ 也满足全部条件。因此所有可能值为 $\boxed{13,20}$。