2025 年北京预赛

解答

记 $s=b^2+c^2>0$。两个已知等式给出

两边相减，得到

令 $x=\sqrt{a/d}>0$，$p=\sqrt{ad}$，则 $a=px,d=p/x$，而

因此

对 $x^2$ 与 $1$ 使用加权算术--几何平均不等式，

故

从而

等号在 $x^2=5$ 时成立。此时取 $s=ad=\sqrt{5}$，再取任意正数 $b,c$ 使 $b^2+c^2=\sqrt{5}$，即可满足全部条件。