2013 年湖北预赛 · 第 6 题

解答

坐标消元

右焦点为 $F=(1,0)$。设 $M=(u,v)$、$P=(p,q)$。 椭圆在 $M$ 处的切线方程为 $\frac{ux}{4}+\frac{vy}{3}=1$，故

由 $\overrightarrow{FP}\perp \overrightarrow{FM}$，得

消去 $vq$，可得 $-up+4u+4p=16$，即 $(u-4)(p-4)=0$。 由于 $M$ 在椭圆上，$|u|\le 2$，所以必有 $p=4$。

还须证明直线上的点全部可取。任取 $P=(4,q)$，它在椭圆外。 过椭圆内点 $F$ 作垂直于 $FP$ 的直线，其方程为 $3(u-1)+qv=0$。 该直线穿过椭圆内点，必与椭圆交于两个点；任取一交点 $M=(u,v)$，都有 $3u+qv=3$。于是

表明 $P$ 在椭圆的 $M$ 点切线上，且按作法 $\angle PFM=90^{\circ }$。 因此轨迹是整条直线 $\boxed{x=4}$。

焦点反射（本次补充）

记左焦点为 $F^{\prime }$，中心为 $O$，则 $F^{\prime }F=2$，长轴长为 $4$。 先说明所需的切线性质：对椭圆上一点 $M$，在射线 $F^{\prime }M$ 上取 $H$，使 $F^{\prime }H=4$。 由焦点定义，$MH=MF$。任取椭圆上一点 $Q$，由三角不等式有

所以椭圆全部位于线段 $FH$ 的垂直平分线的 $F$ 侧，且 $M$ 在此线上。 故该垂直平分线就是 $M$ 点的支撑切线，$H$ 是 $F$ 关于该切线的对称点。

题设 $P$ 在此切线上，故 $PF=PH$。三角形 $PMF$ 与 $PMH$ 由三边对应相等而全等， 从而 $\angle PHM=\angle PFM=90^{\circ }$。于是 $PH\perp F^{\prime }H$，有

设 $D$ 为 $P$ 到焦轴的垂足。由余弦定理，$F^{\prime }P$ 在射线 $F^{\prime }F$ 上的投影为

所以 $D$ 在该射线上且 $F^{\prime }D=5$，即 $OD=4$，故必要的轨迹方程为 $x=4$。

再核充分性。任取这条直线上的 $P$，由勾股定理， $P{F}^{\prime 2}-P{F}^2=D{F}^{\prime 2}-D{F}^2=5^2-3^2=16$，且 $P{F}^{\prime }>4$。 从 $P$ 向以 $F^{\prime }$ 为圆心、$4$ 为半径的圆作切线，取切点 $H$，则 $P{H}^2=P{F}^{\prime 2}-16=P{F}^2$。射线 $F^{\prime }H$ 与椭圆相交于 $M$；椭圆上点到 $F^{\prime }$ 的距离不超过 $3$， 故 $M$ 在线段 $F^{\prime }H$ 内。焦点定义给出 $MF=4-F^{\prime }M=MH$。 于是 $P$、$M$ 都在线段 $FH$ 的垂直平分线上，该线按前述性质正是椭圆在 $M$ 处的切线。 全等三角形 $PMF$、$PMH$ 又给出 $\angle PFM=\angle PHM=90^{\circ }$。 所以该直线上的每一点都满足题设，仍得 $x=4$。