培玉 · 一试
2008 年天津预赛 · 第 15 题
有 个选手 ，他们的积分分别为 ，
名次分别为第 。
现进行单循环比赛，即任意两个选手之间都恰进行一场比赛，且每场比赛都要分出胜负。若名次靠前的选手胜了名次靠后的选手，则胜者得 分，负者得 分；若名次靠后的选手胜了名次靠前的选手，则胜者得 分，负者得 分。全部比赛结束后计算每个选手的累计积分（即这次单循环所得的分数与之前的积分相加所得的和），并根据累计积分进行重新排名，求新的冠军累计积分的最小值（名次并列是允许的）。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
加权下界法：一场两种结果的贡献分别为 与 ，故至少为二者较小值。所有权重为正时，整体取等可迫各人逐项取等。
想法从哪来：先把所有强者都安排输球虽能压低前几人，却会让后几人因每胜得两分而升高。普通总分下界也偏弱，因为不同胜负给总分的贡献不同。应给原名次不同的人配置正权重，使每场无论谁胜都能提供统一可计算的最低加权贡献。权重的二倍关系来自逆转得分与正常得分的比例，选分层权重比逐场研究更容易把下界推紧。若假设冠军分数再低一点，会迫所有人同时达到同一上界，此时末名选手只能得偶数分，产生矛盾。下界证明后还要给一份具体赛果，逐人累计，不能仅凭加权不等式断言可达。
对不同名次使用不等权重，逐场给加权总分的下界；若冠军分数过低，所有人的等号条件会与末名选手的奇偶性冲突。
解答
按原名次给十人的分数分别乘权重
加权初分为一百八十五。第 人（）一场对加权总分的贡献，或为 ，或为 ，至少为二者较小值。固定 ，与后面选手比赛的这些下界之和依次为
合计一百四十五。因此最终加权总分至少为三百三十。 若冠军累计分不超过十一，各人都不超过十一，加权总分又至多 ，只得恰为三百三十。所有权重正，便迫每人最终都为十一。但原第十人初分零，每赢一场均得二分，最终必为偶数，矛盾。所以冠军至少十二分。 下面给可达安排。除以下逆转外，一律由原名次较前者获胜：第一人输给第五至第十人；第二人输给第七至第十人；第三人输给第六人和第十人。由此十人累计分依次为
所以新的冠军累计积分的最小值为 。
复核
加权初分可核为 。达例中的12场逆转每场将前者原全胜安排的分数减一、后者加二，所列累计分均可逐人回算；允许并列冠军正使前六人同分合法。
方法总结
均匀平均不足时，可为各类选手设置正权重并逐场求最小贡献。总量恰卡上界会迫各人取等，再结合离散奇偶反证。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需突破普通平均分界，设计逐场加权总量并追踪共同等号条件，最后另给完整比赛安排达到下界。
已记下，谢谢！