2019 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 6 题

思路

从 $n$ 个因子中选择 $r$ 个指定位置有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)$ 种。多项式中“某项的系数”须同时固定所有变量次数；把根式视作形式字母提取系数，不需要先给 $y$ 取数值。

想法从哪来：先别展开整个高次幂。每个目标项需要多少个 $x$，已经决定了有多少个因子留下来供其他部分选择；再看 $y$ 的次数，就能决定根式项必须出现几次。尤其单独写出的 $x^{n-4}$ 指不含 $y$ 的那一项，不能把所有带这个 $x$ 次数的项混成一个系数。 可临时把 $\sqrt{y}$ 看作一个字母，让目标 $xy$ 变成“一个 $x$、两个这个字母”，选择位置后再乘每次选取带来的系数。其余因子全取负常数，所以符号随指数奇偶变化。另一系数为正，这会先筛掉一半整数；再约去由 $n>4$ 保证为正的公共因子，才解剩下的简单方程。最后代回奇偶条件，避免只得一个数却未满足原符号。

按选择多少个x决定外层二项式项，再在根式部分提取指定的y幂。