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复数的几何意义

从这里开始

目标训练建设中。知识要点、方法卡和分级真题已可使用；先从一道真题开始，卡住时逐级看提示，核对后再换题验证。

从 F1 第一题开始随机来一道 F2

本专题核心公式速查

复数几何把模变成距离、共轭乘积变成内积或面积、商变成相对长度与方向。轨迹题必须双向核条件，圆上的距离界也必须检查等号点是否被删去。遇到两个共轭位置，不要仅凭图形朝向丢掉一支；若目标对镜像不变，应说明为何两支给相同结果。

1. 先修与破题直觉：把 $∣ z - a ∣$ 读成距离，把 $(z - a) / (z - b)$ 读成两个有向向量的比；先标出分母对应的禁点 $b$ 。

2. 核心条件辨析：实商只给共线，不保证同向；纯虚数要求非零，因此与“实部为零”相比还要删去分子零点。

3. 典型误区对比：对直径圆轨迹与圆上最值，先读下方删点卡；做自测时把每个端点代回原分式，而不是只看圆方程。

4. 方法迁移带练：将圆周 $∣ z ∣ = 1$ 改为圆盘 $∣ z ∣ \leq 1$ ， $∣ z - 2∣$ 的范围仍为 $[1, 3]$ ；若改成开圆盘 $∣ z ∣ < 1$ ，范围变为 $(1, 3)$ ，边界可达性要重算。

5. 分级真题实战：先练“实虚部条件化轨迹并精确删点”的同专题例题，再练距离和与旋转的组合题；对每个声称可达的最值给出原复数，并核方向、禁点和分支。

先修（培玉高中数学）：复数的概念复数的四则运算复数的三角表示（选学）平面向量的运算二次函数与一元二次方程、不等式

知识要点

模是距离，复仿射变换先核系数

复数对应平面点， $∣ z - a ∣$ 是两点距离。对 $α \neq = 0$ 、 $r \geq 0$ ， $∣ α z - β ∣ = r$ 等价于 $∣ z - β / α ∣ = r /∣ α ∣$ ；若 $α = 0$ 应直接检查原式，不能套除法。例： $∣2 z - 2 i ∣ = 4$ 是圆心 $i$ 、半径 $2$ 的圆；点 $1 + 2 i$ 与 $4 - 2 i$ 的距离为 $5$ 。

实商、实部为零与纯虚数不能混用

商 $(z - a) / (z - b)$ 先要求 $z \neq = b$ 。商为实数给共线条件，不保证射线同向；商为非零纯虚数还须分子非零。对两个不同定点，后者给直径圆去掉两端。例： $(z + 1) / (z - 1)$ 为纯虚数时， $∣ z ∣ = 1$ 且 $z \neq = \pm 1$ ；若仅要求其实部为零，则 $z = - 1$ 的零商仍合法。

共轭乘积同时编码内积和面积

若 $u = x + y i, v = s + t i$ ，则 $\overline{u} v = (x s + y t) + i (x t - ys)$ 。实部是数量积，虚部是有向面积的两倍；三角形面积为 $\frac{1}{2} ∣ Im (\overline{u} v) ∣$ 。例： $u = 1 + i, v = 2 - i$ 时， $\overline{u} v = 1 - 3 i$ ，数量积为 $1$ 、面积为 $3/2$ 。公式不必除以向量，退化为零面积时仍可用；角度解释则另需非零。

圆的距离范围与距离和退化

圆心到定点的距离为 $d$ 、圆半径为 $r \geq 0$ ，则圆上点到定点的距离范围是 $[∣ d - r ∣, d + r]$ 。例：圆心 $3 + 4 i$ 、半径 $2$ 时，到原点的距离范围为 $[3, 7]$ 。若轨迹删点，还须核等号点是否保留。两定点距离为 $d > 0$ 时，距离和小于 $d$ 无解、等于 $d$ 得连接线段、大于 $d$ 才是非退化椭圆。

固定模让多项式最值降为实参数

单位圆上 $1/ z = \overline{z}$ ，模平方中的共轭对称项可写成 $z + \overline{z} = 2 cos θ$ 等实量。例： $∣ z ∣ = 1$ 时， $∣ z - 2 ∣^{2} = 5 - 4 Re z$ ，故距离范围为 $[1, 3]$ 。若再要求 $z$ 非实，实部只能在 $(- 1, 1)$ ，两端距离就都不取得。平移圆时，应先把约束移到圆心再选参数。

实部固定时可用模平方作变量

当 $Re z = c$ ，可令 $t = ∣ z ∣^{2} \geq c^{2}$ ；每个这样的 $t$ 均可由 $z = c \pm i t - c^{2}$ 实现。若要求非实，则需 $t > c^{2}$ 。非零复数还满足 $1/ \overline{z} = z /∣ z ∣^{2}$ 。例：实部为 $2$ 时 $t \geq 4$ ，在 $z = 2 + i$ 处 $t = 5$ ，且 $1/ \overline{z} = (2 + i) /5$ ；不能把倒数直接当共轭。

商与旋转要保留方向

非零 $u, v$ 的商 $v / u$ 的模是长度比，辐角差给从 $u$ 到 $v$ 的定向角。例： $v / u = - 2 i$ 表示放大两倍后顺时针转 $9 0^{\circ}$ ，不能改成逆时针。绕点 $a$ 旋转用 $z \mapsto a + e^{i θ} (z - a)$ ；三角形面积或周长可能不区分镜像，但角和射线点序不能因此随意丢号。

取模只筛候选，高次方程还要回代

由复数方程取模通常只能得到必要条件，模相同不代表复数相同， $i$ 与 $- i$ 就是例子。若 $ω^{3} = 1, ω \neq = 1$ ，则 $ω^{2} + ω + 1 = 0$ ，而 $ω^{8} = ω^{2}$ ，可按阶数归约指数。几何筛出单位根后仍须代回原方程核相位；求两个共轭解时，也不能无附加条件只保留一个。

方法卡

复数分式的实部虚部条件：化成圆或直线，再把要删的点删掉

分式乘分母的共轭后，实部和虚部都能写出来。实部为零一般得到圆，虚部为零一般得到直线。使分母为零的点要删掉；要求非零纯虚数时，还要删掉分式等于零的点。

完整讲解 · 例题 · 可练 9 题

一、是什么

记号：复数和点

复数写成 $z = a + b i$ ，其中 $a, b$ 是实数， $i^{2} = - 1$ 。 $a$ 叫实部，记作 $Re z$ ； $b$ 叫虚部，记作 $Im z$ 。它对应平面上的点 $(a, b)$ 。 $\overline{z} = a - b i$ 是共轭， $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ 是点到原点的距离， $∣ z - w ∣$ 是两点间的距离。纯虚数是实部为 $0$ 、虚部不为 $0$ 的数，所以 $0$ 不是纯虚数。题目里“满足条件的所有点组成的图形”叫轨迹。

分式怎么分出实部和虚部

分母乘它的共轭就变成正实数： $\frac{a + b i}{c + d i} = \frac{( a + b i ) ( c - d i )}{c ^{2} + d ^{2}}$ ，分母 $c^{2} + d^{2}$ 不为零时是正数。所以分式的实部、虚部符号和是否为零，只看分子 $(a + b i) (c - d i)$ ，它的实部是 $a c + b d$ ，虚部是 $b c - a d$ 。

实部为零：配方得到圆

设 $z = x + y i$ ， $a, b$ 是两个不同的复数。 $a = a_{1} + a_{2} i, b = b_{1} + b_{2} i$ 时， $\frac{z - a}{z - b}$ 的分子乘共轭后，实部是 $(x - a_{1}) (x - b_{1}) + (y - a_{2}) (y - b_{2})$ 。令它为 $0$ 并配方，圆心是 $a, b$ 的中点，半径是 $a, b$ 距离的一半，所以这是以 $a, b$ 为直径的圆； $a \neq = b$ 时半径为正，确实是圆。比如 $a = 1, b = i$ ： $x^{2} + y^{2} - x - y = 0$ ，配方得 $(x - \frac{1}{2})^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}$ 。

虚部为零：直线，比值的符号决定位置

$a \neq = b$ 时，虚部为零的方程是一次方程， $a, b$ 两点都满足它，所以点 $z$ 在过 $a, b$ 的直线上，且要删掉 $z = b$ 。 $a = b$ 时比值恒为 $1$ ，除 $z = b$ 外所有点都满足，这种情况不是直线。比值是实数时，既可能是正的也可能是负的，所以轨迹是整条直线，不是一条射线。比如 $a = 1, b = i$ ，直线 $x + y = 1$ 上 $\frac{z - 1}{z - i} = \frac{x - 1}{x}$ ： $0 < x < 1$ （两点之间）时比值为负， $x < 0$ 或 $x > 1$ 时为正， $x = 1$ 时比值为 $0$ ， $x = 0$ 是被删的点。

必须检查的 4 件事

一， $z = b$ 让分母为零，在圆或直线上就要删掉。二， $z = a$ 让分式等于 $0$ 。“实部为 $0$ ”和“实数”都包含它，“非零纯虚数”不包含，要删掉。三，反方向要成立：图形上剩下的点代回去确实满足条件。四，和其他曲线联立时，把解和被删的点比一比，不要凭图选一侧。

轨迹上到定点的距离

点 $P$ 在半径为 $r$ 的圆上，定点到圆心的距离为 $d$ 。由三角形两边之差和两边之和， $∣ d - r ∣ \leq$ 距离 $\leq d + r$ ，都在定点和圆心所在直线与圆的交点取到（ $d = 0$ 时距离恒为 $r$ ）。如果这个交点恰好被删掉，这个最值就取不到。轨迹是两部分的并集时，要分别算，再取最值。

先看一道例题

例 1：非零纯虚数

$\frac{z - 2}{z - 2 i}$ 是纯虚数。求 $z$ 的轨迹。

怎么看出来：

要求是纯虚数，所以实部为 $0$ ，虚部不为 $0$ ，比“实部为 $0$ ”多删一个点。

解：

要求 $z \neq = 2 i$ 。设 $z = x + y i$ ，分子乘共轭后是 $(x - 2 + y i) (x - (y - 2) i)$ ，实部 $x (x - 2) + y (y - 2)$ ，虚部 $x y - (x - 2) (y - 2) = 2 x + 2 y - 4$ 。实部为 $0$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ ，即 $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2$ 。虚部不为 $0$ ： $x + y \neq = 2$ 。把 $x + y = 2$ 和圆联立，代 $y = 2 - x$ 得 $2 (x - 1)^{2} = 2$ ，所以 $x = 0$ 或 $x = 2$ ，交点是 $(0, 2)$ 和 $(2, 0)$ ，正是 $z = 2 i$ 和 $z = 2$ 。这两点都要删掉，圆上其他点全部满足条件。检查： $z = 2 + 2 i$ 在圆上，分式 $\frac{2 i}{2} = i$ ，是纯虚数。

答案：

圆 $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2$ ，删去 $z = 2$ 和 $z = 2 i$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$\frac{z - a}{z - b}$ （ $a \neq = b$ ）的实部为 $0$	以 $a, b$ 为直径的圆，删掉 $b$
$\frac{z - a}{z - b}$ （ $a \neq = b$ ）是非零纯虚数	同一个圆， $a, b$ 两点都删掉
$\frac{z - a}{z - b}$ （ $a \neq = b$ ）是实数	过 $a, b$ 的整条直线，删掉 $b$
轨迹再和圆或另一条曲线联立	把解和被删的点比较，再数解的个数
实部与虚部之比为常数	交叉相乘后删去虚部为 $0$ 的点（见进阶“比值条件和图形变换”）
含 $z$ 和 $\frac{1}{z}$ 的实数条件	分出虚部，提公因式得到并集（见同一进阶）
已知 $z$ 的轨迹，求 $\frac{1}{z}$ 或别的变换后的轨迹	反解后代入，删掉取不到的值（见同一进阶）

三、怎么用

写禁值并设 $z = x + y i$ 。例如求 $\frac{z - 1}{z - i}$ 实部为 $0$ 的轨迹：要求 $z \neq = i$ 。
乘分母的共轭，算出分子的实部和虚部。分子是 $(x - 1 + y i) (x - (y - 1) i)$ ，实部 $x (x - 1) + y (y - 1)$ ，虚部 $x y - (x - 1) (y - 1) = x + y - 1$ 。
列条件并配方。实部为 $0$ ： $x^{2} + y^{2} - x - y = 0$ ，即 $(x - \frac{1}{2})^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}$ 。
比较禁值和端点。 $z = i$ 即 $(0, 1)$ 在这个圆上，要删掉。 $z = 1$ 时分式为 $0$ ，实部确实为 $0$ ，保留。若题目改成“非零纯虚数”， $z = 1$ 也要删掉。
证反方向：圆上除 $(0, 1)$ 外的点分母不为零，分子实部为 $0$ ，所以分式实部为 $0$ 。结论：圆删去 $z = i$ 。代一个点检查： $z = 1 + i$ 在圆上， $\frac{i}{1} = i$ ，实部为 $0$ 。

四、再做一道

例 2：被删的点影响个数

设 $r > 0$ 。求所有 $r$ ，使满足“ $\frac{z + 1}{z - 2 i}$ 是实数，且 $∣ z ∣ = r$ ”的复数 $z$ 恰好有 $1$ 个。

怎么看出来：

实数条件给出一条直线，和圆联立是二次方程。除了判别式为 $0$ ，还要看被删的点有没有刚好是一个解。

解：

要求 $z \neq = 2 i$ 。分子 $(x + 1 + y i) (x - (y - 2) i)$ 的虚部是 $x y - (x + 1) (y - 2) = 2 x - y + 2$ ，所以 $y = 2 x + 2$ ，并删去 $(0, 2)$ 。和 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 联立： $5 x^{2} + 8 x + 4 - r^{2} = 0$ 。判别式 $Δ = 64 - 20 (4 - r^{2}) = 20 r^{2} - 16$ 。 $Δ < 0$ 时没有解； $Δ = 0$ 即 $r = \frac{2 5}{5}$ 时，有唯一解 $x = - \frac{4}{5}$ ， $y = \frac{2}{5}$ ，它不是被删的点，所以恰好 $1$ 个。 $Δ > 0$ 时有 $2$ 个不同的 $x$ ，要恰好 $1$ 个，必须有一个是被删的 $x = 0$ ，把 $x = 0$ 代入方程得 $r = 2$ 。此时另一根 $x = - \frac{8}{5}$ ， $y = - \frac{6}{5}$ ，确实只剩 $1$ 个。其他 $r$ 时 $x = 0$ 不是根，有 $0$ 个或 $2$ 个。检查： $z = - \frac{8}{5} - \frac{6}{5} i$ 时分式等于 $\frac{3}{8}$ ，是实数，且 $∣ z ∣ = 2$ 。

答案：

$r = \frac{2 5}{5}$ 或 $r = 2$ 。

五、容易错在哪

实部为 $0$ 不等于非零纯虚数。分式等于 $0$ 时实部为 $0$ ，但它不是纯虚数，要把这个点删掉。
交叉相乘之前分母不能为 $0$ 。相乘之后的方程会把使分母为零的点包含进来，要回头删掉。
推出一个圆，只说明轨迹在这个圆上。还要验证圆上剩下的每个点确实满足条件，才能说这是完整的轨迹。
实数的比值可能是负的，所以 $a \neq = b$ 时， $\frac{z - a}{z - b}$ 为实数的轨迹是整条直线删去 $b$ ，不是一条射线。
删点之后范围可能少一个值，算距离或模的范围时要检查被删的点对应什么结果。

进阶：比值条件和图形变换 · 先修：本卡基础部分

实部和虚部之比

“实部与虚部之比为 $k$ ”首先要求虚部不为 $0$ ，分母也不为 $0$ 。交叉相乘得到 $Re = k Im$ ，这个式子在虚部为 $0$ 、实部也为 $0$ 的点上也成立，把比值没有意义的点带了进来，要把这些点删回去。

分式里有倒数，取实数

$z + \frac{k}{z}$ （ $k$ 是实数， $k \neq = 0$ ）的虚部是 $y (1 - \frac{k}{x ^{2} + y ^{2}})$ 。所以它是实数时， $y = 0$ 或 $∣ z ∣^{2} = k$ ，轨迹是两部分的并集， $k < 0$ 时后一部分为空。“ $z \in / R$ ”（ $z$ 不是实数）这样的条件要把实轴去掉， $R$ 表示全体实数。

点的共线与变换

$A \neq = B$ 时，点 $P$ 在直线 $A B$ 上，当且仅当 $\frac{P - A}{B - A}$ 是实数，所以也可以写成 $P = A + t (B - A)$ ， $t$ 是实数。如果要求新点 $w = f (z)$ 的轨迹，把 $z$ 反解成 $w$ 的式子，代入 $z$ 满足的条件，再把 $w$ 取不到的值删掉。比如 $w = \frac{1}{z}$ 取不到 $0$ 。

例 3：比值和删点

$\frac{z - 1}{z + 1}$ 的实部与虚部之比为 $1$ 。求 $z$ 的轨迹和 $∣ z ∣$ 的取值范围。

怎么看出来：

比值要求虚部不为 $0$ ，交叉相乘后的圆上有些点要删掉。删掉点后 $∣ z ∣$ 的范围也可能少一个值。

解：

要求 $z \neq = - 1$ 。分子 $(x - 1 + y i) (x + 1 - y i)$ 的实部是 $x^{2} + y^{2} - 1$ ，虚部是 $y (x + 1) - y (x - 1) = 2 y$ 。比值有意义要 $y \neq = 0$ ，比值为 $1$ 就是 $x^{2} + y^{2} - 1 = 2 y$ ，即 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 2$ 。圆上 $y = 0$ 的点是 $x = \pm 1$ ，即 $z = \pm 1$ ，它们要删掉。其他点 $y \neq = 0$ ，分母也不为零，条件成立。范围： $∣ z ∣^{2} = x^{2} + y^{2} = 1 + 2 y$ 。圆上 $y$ 取遍 $[1 - 2, 1 + 2]$ ，除 $y = 0$ 外都能取到（ $x = 0$ 时取到两端），所以 $∣ z ∣^{2}$ 取遍 $[3 - 22, 3 + 22]$ ，但不取 $1$ 。开方， $3 \pm 22 = (2 \pm 1)^{2}$ 。检查： $z = i (1 + 2)$ 时实部、虚部相等， $∣ z ∣ = 2 + 1$ 。

答案：

圆 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 2$ 删去 $z = \pm 1$ ； $∣ z ∣ \in [2 - 1, 1) \cup (1, 2 + 1]$ 。

例 4：轨迹是并集

$\frac{z}{1 + z ^{2}}$ 是实数。求 $z$ 的轨迹。

怎么看出来：

分母是 $z^{2} + 1$ ，上下除以 $z$ 后出现 $z + \frac{1}{z}$ ，但 $z = 0$ 不能这样除，要单独看。

解：

要求 $z^{2} \neq = - 1$ ，即 $z \neq = \pm i$ 。 $z = 0$ 时分式等于 $0$ ，是实数，符合条件。 $z \neq = 0$ 时，分式 $= \frac{1}{z + \frac{1}{z}}$ ，这里 $z + \frac{1}{z} \neq = 0$ （否则 $z^{2} = - 1$ ），所以分式是实数当且仅当 $z + \frac{1}{z}$ 是实数。设 $z = x + y i$ ， $\frac{1}{z} = \frac{x - y i}{x ^{2} + y ^{2}}$ ，虚部之和为 $y (1 - \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}})$ 。为零时 $y = 0$ 或 $x^{2} + y^{2} = 1$ 。所以轨迹是实轴（含 $z = 0$ ）和单位圆的并集，单位圆上要删去 $\pm i$ ；实轴上这两个点本来就没有。检查： $z = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ 时 $z + \frac{1}{z} = \frac{6}{5}$ ，分式等于 $\frac{5}{6}$ ，是实数。

答案：

实轴和单位圆 $∣ z ∣ = 1$ 的并集，删去 $z = \pm i$ 。

例 5：变换后的轨迹

点 $z$ 在直线 $Re z = 1$ 上， $w = \frac{1}{z}$ 。求 $w$ 的轨迹。

怎么看出来：

$z$ 能用 $w$ 表示： $z = \frac{1}{w}$ 。把 $z$ 的条件翻译成 $w$ 的条件， $w$ 取不到 $0$ 。

解：

直线上 $z \neq = 0$ ，所以 $w$ 有定义，且 $w \neq = 0$ 。设 $w = u + v i$ ， $z = \frac{1}{w} = \frac{u - v i}{u ^{2} + v ^{2}}$ ，实部为 $\frac{u}{u ^{2} + v ^{2}}$ 。条件 $Re z = 1$ 就是 $u^{2} + v^{2} = u$ ，即 $(u - \frac{1}{2})^{2} + v^{2} = \frac{1}{4}$ ，且 $w \neq = 0$ 。反过来，这个圆上任何非零的 $w$ ，令 $z = \frac{1}{w}$ ，都有 $Re z = 1$ 。所以轨迹是整个圆删去原点。检查： $z = 1 + i$ 时 $w = \frac{1 - i}{2}$ ， $u = \frac{1}{2}, v = - \frac{1}{2}$ ，代入圆方程 $0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ 。

答案：

以 $\frac{1}{2}$ 为圆心、 $\frac{1}{2}$ 为半径的圆，删去原点。

真题

按这个方法练 · 9 题

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复数模的最值：看成点到圆、线段的距离

$∣ z - a ∣$ 是点 $z$ 到点 $a$ 的距离。先把约束画成圆或线段，再用圆心距加减半径，或者在线段上比较端点。最后一定要指出取到最值的点。

完整讲解 · 例题 · 可练 12 题

一、是什么

模就是距离

$a = p + q i$ 时， $∣ z - a ∣ = (x - p)^{2} + (y - q)^{2}$ ，是点 $(x, y)$ 到点 $(p, q)$ 的距离。所以 $∣ z - 1 - i ∣ = 2$ 是圆心 $1 + i$ 、半径 $2$ 的圆。注意 $∣ z + 2∣$ 是到 $- 2$ 的距离。

点到圆的距离范围

圆 $∣ z - c ∣ = r$ （ $r > 0$ ），定点 $P$ ，记 $d = ∣ P - c ∣$ 。三角不等式给出 $∣ ∣ z - c ∣ - ∣ P - c ∣ ∣ \leq ∣ z - P ∣ \leq ∣ z - c ∣ + ∣ P - c ∣$ ，所以 $∣ z - P ∣$ 的范围是 $[∣ d - r ∣, d + r]$ 。 $d > 0$ 时， $d > 0$ 时，两端在直线 $c P$ 与圆的交点取到。 $P$ 在圆内时最小值是 $r - d$ ，不是 $d - r$ ； $d = 0$ 时距离恒为 $r$ 。公式代数验算： $r = 2, d = 5$ 时是 $[3, 7]$ ， $r = 2, d = 1$ 时是 $[1, 3]$ 。

两个动点在两个圆上

$∣ z - c_{1} ∣ = r_{1}$ ， $∣ w - c_{2} ∣ = r_{2}$ ， $d = ∣ c_{1} - c_{2} ∣$ 。先固定 $w$ ， $z$ 在圆上时 $∣ z - w ∣$ 的范围用上一条；再让 $w$ 动。最大值总是 $d + r_{1} + r_{2}$ 。两圆互相在外（ $d > r_{1} + r_{2}$ ）时，最小值是 $d - r_{1} - r_{2}$ ；一个圆在另一个圆内（ $d < ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ ）时，最小值是 $∣ r_{1} - r_{2} ∣ - d$ ；两圆相交或相切时，最小值是 $0$ 。

圆盘和圆周不同

$∣ z - c ∣ \leq r$ 是圆盘，包括内部。 $P$ 在圆盘内部时最小距离是 $0$ ，取 $z = P$ ；在圆盘外时最小距离才是 $d - r$ 。最大值都是 $d + r$ 。

线段：用参数和配方

$A, B$ 之间的线段可写成 $A + t (B - A)$ ， $0 \leq t \leq 1$ 。距离的平方是 $t$ 的二次式，顶点 $t$ 落在 $[0, 1]$ 内时最小值在顶点取到，这就是垂足；落在外面时，二次式在 $[0, 1]$ 上单调，最小值在离顶点近的端点取到。此时用直线距离公式算出的值偏小，取不到。

距离和等于两点距离：是线段

设 $A \neq = B$ 。三角不等式 $∣ z - A ∣ + ∣ z - B ∣ \geq ∣ A - B ∣$ ，等号当且仅当 $z$ 在线段 $A B$ 上。所以 $∣ z - A ∣ + ∣ z - B ∣ = ∣ A - B ∣$ 的点集就是线段，不是椭圆。若常数比 $∣ A - B ∣$ 小，没有这样的点；比 $∣ A - B ∣$ 大才是椭圆。

系数不是 1：提出来

$a \neq = 0$ 时 $∣ a z + b ∣ = ∣ a ∣ z + \frac{b}{a}$ ，还是一个距离。例如 $∣2 z + 3 + 4 i ∣ = 6$ 就是 $z + \frac{3 + 4 i}{2} = 3$ ，表示圆心 $- \frac{3 + 4 i}{2}$ 、半径 $3$ 的圆。

先看一道例题

例 1：一个圆在另一个圆内

$∣ z ∣ = 3$ ， $∣ w - 1∣ = 1$ ，求 $∣ z - w ∣$ 的取值范围。

怎么看出来：

两个动点。圆心距 $1$ 比半径差 $2$ 小，小圆在大圆里面，最小值不是 $d - r_{1} - r_{2}$ 。

解：

$∣ w - 1∣ = 1$ 时 $∣ w ∣$ 的范围是 $[0, 2]$ （圆心距 $1$ ，半径 $1$ ）。固定 $w$ ， $∣ z ∣ = 3$ 时 $∣ z - w ∣$ 的范围是 $[3 - ∣ w ∣, 3 + ∣ w ∣]$ ，因为 $∣ w ∣ < 3$ 。所以 $∣ z - w ∣ \geq 3 - 2 = 1$ ， $∣ z - w ∣ \leq 3 + 2 = 5$ 。取到： $w = 2, z = 3$ 时为 $1$ ； $w = 2, z = - 3$ 时为 $5$ 。固定 $w = 2$ ， $z$ 沿圆连续移动，距离取遍 $1$ 到 $5$ 。

答案：

$1 \leq ∣ z - w ∣ \leq 5$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$∣ z - c ∣ = r$ ，求 $∣ z - P ∣$ 的最值	算 $d = ∣ P - c ∣$ ，范围是 $[∣ d - r ∣, d + r]$
$z, w$ 分别在两个圆上，求 $∣ z - w ∣$	算圆心距 $d$ ，比较 $d$ 和 $r_{1} + r_{2}$ 、 $∣ r_{1} - r_{2} ∣$
$∣ z - c ∣ \leq r$	圆盘：先看 $P$ 在不在里面
$∣ z - A ∣ + ∣ z - B ∣$ 等于常数	比较常数和 $∣ A - B ∣$ ：相等是线段
目标是到线段上一点的距离，或线段上一点到圆上一点的距离	写成 $A + t (B - A)$ ，配方，看顶点在不在 $[0, 1]$ 内
分式约分或拆开之后	记住删去的点（见进阶“有删点的距离”）

三、怎么用

把约束翻译成图形，写出圆心、半径。例如 $∣ z - 1∣ = 1$ ， $∣ w - 4 - 4 i ∣ = 1$ ：两个圆，圆心 $1$ 和 $4 + 4 i$ ，半径都是 $1$ 。
把目标写成距离，算圆心距。目标 $∣ z - w ∣$ ， $d = ∣3 + 4 i ∣ = 5$ 。
比较 $d$ 和半径。 $5 > 1 + 1$ ，两圆互相在外，范围是 $[5 - 2, 5 + 2] = [3, 7]$ 。
指出取到端点的点：两个点都在圆心连线上。 $z = 1 + \frac{3 + 4 i}{5}$ ， $w = 4 + 4 i - \frac{3 + 4 i}{5}$ 时距离最小， $∣ z - w ∣ = 5 - 2 = 3$ 。再确认这些点没有被题目删去。

四、再做一道

例 2：线段上的点和圆上的点

$z = (1 + 3 t) + (1 + 4 t) i$ ， $0 \leq t \leq 1$ ； $∣ w ∣ = 1$ 。求 $∣ z - w ∣$ 的取值范围。

怎么看出来：

$z$ 在线段上。先求 $∣ z ∣$ 的范围，再看圆。要留意直线上最近的点是否在线段上。

解：

$∣ z ∣^{2} = (1 + 3 t)^{2} + (1 + 4 t)^{2} = 25 t^{2} + 14 t + 2$ 。二次式顶点在 $t = - \frac{7}{25} < 0$ ，在区间外，所以在 $[0, 1]$ 上递增， $∣ z ∣$ 的范围是 $[2, 41]$ 。 $∣ z ∣ > 1$ ，点 $z$ 在单位圆外，固定 $z$ 时 $∣ z - w ∣$ 的范围是 $[∣ z ∣ - 1, ∣ z ∣ + 1]$ 。所以最小值是 $2 - 1$ （ $t = 0$ ， $z = 1 + i$ ， $w = \frac{1 + i}{2}$ ），最大值是 $41 + 1$ （ $t = 1$ ， $z = 4 + 5 i$ ， $w = - \frac{4 + 5 i}{41}$ ）。若用直线距离：直线 $4 x - 3 y - 1 = 0$ 到原点距离 $\frac{1}{5} < 1$ ，会误以为线段和圆相交、最小值是 $0$ ，但最近点在线段延长线上。中间的值由 $z, w$ 连续变化取到。

答案：

$2 - 1 \leq ∣ z - w ∣ \leq 41 + 1$ 。

五、容易错在哪

圆周和圆盘不同。定点在圆盘内部时，到圆盘的最小距离是 $0$ ，到圆周的最小距离是 $r - d$ 。
垂足落在线段外时，直线距离取不到，要比较端点。
$∣ z - A ∣ + ∣ z - B ∣ = c$ 先比较 $c$ 和 $∣ A - B ∣$ ： $c = ∣ A - B ∣$ 是线段， $c < ∣ A - B ∣$ 没有点， $c > ∣ A - B ∣$ 才是椭圆。
有下界不等于有最小值。要指出取等的点，并确认它满足题目的全部条件，没有被分母删去。

进阶：有删点的距离

分式：约分或拆开，记住删去的点

分子含有分母的因式时可以约分，约掉的点仍不能取。分子分母次数相同时可以拆开： $z \neq = 1$ 时 $\frac{z + 1}{z - 1} = 1 + \frac{2}{z - 1}$ ，于是 $\frac{z + 1}{z - 1} - 1 = \frac{2}{∣ z - 1∣}$ ，这是到点 $1$ 的距离的倒数。圆上的点靠近删去的点时，距离趋于 $0$ ，这个量没有上界。

例 3：靠近删点时没有上界

$∣ z ∣ = 1$ ， $z \neq = 1$ ，令 $u = \frac{z + 1}{z - 1}$ ，求 $∣ u - 1∣$ 的取值范围。

怎么看出来：

拆开后是到点 $1$ 的距离的倒数。点 $1$ 在圆上且被删去，要看距离能小到什么程度。

解：

$u - 1 = \frac{2}{z - 1}$ ，所以 $∣ u - 1∣ = \frac{2}{∣ z - 1∣}$ 。 $∣ z ∣ = 1$ 时 $∣ z - 1∣$ 的范围本来是 $[0, 2]$ ， $0$ 只在 $z = 1$ 取到，这个点被删去，所以 $0 < ∣ z - 1∣ \leq 2$ ，且 $(0, 2]$ 内每个值都能取到。于是 $∣ u - 1∣ \geq 1$ ，没有上界。检查： $z = - 1$ 时 $u = 0$ ， $∣ u - 1∣ = 1$ ； $z = i$ 时 $u = \frac{1 + i}{- 1 + i} = - i$ ， $∣ u - 1∣ = 2 = \frac{2}{∣ i - 1∣}$ 。

答案：

$∣ u - 1∣ \geq 1$ ，没有最大值。

进阶：多个距离 · 先修：复数乘法表示旋转

多个距离：配对用三角不等式

把距离两两配对，每对用一次三角不等式，再相加。总的下界要能取到，就要有一个点同时落在每一对对应的线段上。这样的点不存在时，相加得到的下界取不到，要换配对方法。

3 个距离：旋转 $6 0^{\circ}$ 拼折线

求 $∣ z - A ∣ + ∣ z - B ∣ + ∣ z - C ∣$ 的最小值。乘 $ρ = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ 表示转 $6 0^{\circ}$ ，长度不变。令 $z^{'} - A = ρ (z - A)$ ， $C^{'} - A = ρ (C - A)$ 。 $z - z^{'} = (1 - ρ) (z - A)$ ，而 $∣1 - ρ ∣ = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i = 1$ ，所以 $∣ z - A ∣ = ∣ z - z^{'} ∣$ ；又 $∣ z^{'} - C^{'} ∣ = ∣ ρ ∣∣ z - C ∣ = ∣ z - C ∣$ 。于是和等于折线 $B \to z \to z^{'} \to C^{'}$ 的长，不小于 $∣ B - C^{'} ∣$ 。这个下界只有在 $B, z, z^{'}, C^{'}$ 依次排在一条线段上时才取到，要验证这样的 $z$ 存在；三角形有角大于 $12 0^{\circ}$ 时取不到。

例 4：4 个距离配对

求 $∣ z - 1∣ + ∣ z + 1∣ + ∣ z - i ∣ + ∣ z + i ∣$ 的最小值。

怎么看出来：

$4$ 个距离分成 $2$ 对，每对两个点关于原点对称，看两条线段有没有公共点。

解：

由三角不等式， $∣ z - 1∣ + ∣ z + 1∣ \geq 2$ ，等号当且仅当 $z$ 在实轴线段 $[- 1, 1]$ 上； $∣ z - i ∣ + ∣ z + i ∣ \geq 2$ ，等号当且仅当 $z$ 在虚轴线段 $[- i, i]$ 上。相加得总和 $\geq 4$ 。两条线段交于原点， $z = 0$ 时两对同时取等，总和为 $4$ 。

答案：

最小值 $4$ ，在 $z = 0$ 取到。

真题

按这个方法练 · 12 题

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圆上的模最值：平方后变成一个实数变量

把目标展开，让式子只剩一个实数变量，比如实部 $x$ 或 $∣ z ∣^{2}$ ；目标是模时先平方。先写清这个变量的范围，再求最值，区间端点也要比较，最后找到对应的 $z$ 。

完整讲解 · 例题 · 可练 9 题

一、是什么

记号：模平方怎么展开

$z = x + y i$ 的实部 $x$ 记作 $Re z$ 。共轭是 $\overline{x + y i} = x - y i$ ， $∣ z ∣^{2} = z \overline{z} = x^{2} + y^{2}$ ，模平方总能算成实数。模非负，所以求 $∣ w ∣$ 的最值可以先求 $∣ w ∣^{2}$ 的最值，最后开方。

圆上， $z$ 的很多量只和实部有关

若 $∣ z ∣ = r$ ， $a$ 是实数，则 $∣ z - a ∣^{2} = (x - a)^{2} + y^{2} = r^{2} - 2 a x + a^{2}$ ， $y$ 被消掉了。例如 $∣ z ∣ = 1$ 时， $∣ z - 1 ∣^{2} = 2 - 2 x$ ， $∣ z + 1 ∣^{2} = 2 + 2 x$ 。 $z^{2}$ 的实部也一样： $Re (z^{2}) = x^{2} - y^{2} = 2 x^{2} - r^{2}$ 。 $x$ 的范围是 $[- r, r]$ 。

单位圆上，提出一个 $z$

$∣ z ∣ = 1$ 时 $\frac{1}{z} = \overline{z}$ 。形如 $z^{2} + a z + 1$ （ $a$ 为实数）的式子可以提出 $z$ ： $∣ z^{2} + a z + 1∣ = ∣ z ∣ z + a + \frac{1}{z} = ∣2 x + a ∣$ 。这里 $z + \overline{z} = 2 x$ 。例如 $z = i$ ， $a = 1$ 时左边 $∣ - 1 + i + 1∣ = 1$ ，右边 $∣0 + 1∣ = 1$ 。

圆心不在原点就先平移

若 $∣ z - 1∣ = 1$ ，令 $w = z - 1 = u + v i$ ，则 $∣ w ∣ = 1$ ， $- 1 \leq u \leq 1$ ， $z = 1 + w$ 。于是 $∣ z ∣^{2} = (1 + u)^{2} + v^{2} = 2 + 2 u$ ， $Re z = 1 + u$ 。所以 $∣ z ∣^{2} + Re z = 3 + 3 u$ ，范围是 $[0, 6]$ ， $u = - 1$ 时 $z = 0$ 取到 $0$ ， $u = 1$ 时 $z = 2$ 取到 $6$ 。

实部固定时，用 $t = ∣ z ∣^{2}$

若 $Re z = m$ ，则 $∣ z ∣^{2} = m^{2} + y^{2}$ ，所以 $t = ∣ z ∣^{2} \geq m^{2}$ ，且 $y = 0$ 时取到 $m^{2}$ 。 $z + \overline{z} = 2 m$ 和 $z \overline{z} = t$ 两个量都已知， $z^{2} + \overline{z}^{2} = (z + \overline{z})^{2} - 2 z \overline{z} = 4 m^{2} - 2 t$ 也只含 $t$ 。

先看最低点在不在范围内

例如 $t + \frac{37}{t}$ （ $t > 0$ ）在 $t = 37$ 处最小，这由 $(t - \frac{37}{t})^{2} \geq 0$ 得到。若题目只允许 $t \geq 9$ ，而 $37 < 9$ ，这个点取不到。这时比较两个值： $t_{2} > t_{1} \geq 9$ 时， $(t_{2} + \frac{37}{t _{2}}) - (t_{1} + \frac{37}{t _{1}}) = (t_{2} - t_{1}) (1 - \frac{37}{t _{1} t _{2}}) > 0$ ，因为 $t_{1} t_{2} > 81 > 37$ 。所以它在 $[9, + \infty)$ 上递增，最小值在 $t = 9$ 取到。

先看一道例题

例 1：圆上多项式的实部

$∣ z ∣ = 2$ ，求 $Re (z^{2} - 4 z)$ 的取值范围。

怎么看出来：

目标是实部，不用平方。 $z^{2}$ 的实部能用 $x$ 表示，整个式子只剩 $x$ 。

解：

设 $x = Re z$ ， $- 2 \leq x \leq 2$ 。 $Re (z^{2}) = x^{2} - y^{2} = 2 x^{2} - 4$ ，所以目标是 $2 x^{2} - 4 x - 4 = 2 (x - 1)^{2} - 6$ 。顶点 $x = 1$ 在范围内，值为 $- 6$ ；端点 $x = - 2$ 时为 $12$ ， $x = 2$ 时为 $- 4$ 。开口向上，最大值在端点，最大是 $12$ 。 $x$ 在 $[- 2, 2]$ 内连续变化时，式子取遍 $- 6$ 和 $12$ 之间的值。检查： $z = - 2$ 时 $4 + 8 = 12$ ； $z = 1 + 3 i$ 时 $z^{2} = - 2 + 23 i$ ，实部 $- 2 - 4 = - 6$ 。

答案：

$- 6 \leq Re (z^{2} - 4 z) \leq 12$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$∣ z ∣ = r$ ，目标只含到实轴上定点的距离	用 $∣ z - a ∣^{2} = r^{2} - 2 a x + a^{2}$ ，只留 $x$
$∣ z ∣ = 1$ ，目标是 $∣ z^{2} + a z + 1∣$ 这样首尾系数相同的式子	提出 $z$ ，变成 $∣2 x + a ∣$
$∣ z ∣ = r$ ，目标是实系数二次式 $a z^{2} + b z + c$ 的实部	用 $Re (z^{2}) = 2 x^{2} - r^{2}$ ，化成 $x$ 的式子，次数不超过 2。次数更高时会得到更高次的多项式，如 $∣ z ∣ = 1$ 时 $Re (z^{3}) = 4 x^{3} - 3 x$ （见进阶“求导”）
圆心不在原点，如 $∣ z - 1∣ = 1$	先设 $w = z - 1$
实部固定，如 $Re z = 3$	设 $t = ∣ z ∣^{2} \geq 9$ ，把模平方写成 $t$ 的式子
圆上的点，目标是 $\frac{y}{x}$	代入 $y = k x$ ，用判别式（见进阶“斜率与判别式”）

三、怎么用

写出约束，选好实数变量。例如 $∣ z ∣ = 1$ ，目标 $Re (z^{2} + 2 z)$ ，变量选 $x = Re z$ ，范围 $[- 1, 1]$ 。
把目标化成这个变量的式子： $Re (z^{2}) = 2 x^{2} - 1$ ， $Re (2 z) = 2 x$ ，目标是 $2 x^{2} + 2 x - 1$ 。
求这个式子在范围内的最值，内部的最低点、最高点和端点都要看。配方得 $2 (x + \frac{1}{2})^{2} - \frac{3}{2}$ ，顶点 $x = - \frac{1}{2}$ 在范围内，值为 $- \frac{3}{2}$ ；端点 $x = 1$ 时为 $3$ ， $x = - 1$ 时为 $- 1$ 。所以范围是 $[- \frac{3}{2}, 3]$ 。
找出对应的 $z$ ，确认它满足题目的全部条件。 $x = 1$ 时 $z = 1$ ， $Re (1 + 2) = 3$ ； $x = - \frac{1}{2}$ 时 $z = - \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i$ 。若题目还限制了实部或删去了点，范围要跟着改。

四、再做一道

例 2：实部固定，最低点取不到

$Re z = 3$ ，求 $z + \frac{1}{z}$ 的最小值。

怎么看出来：

实部固定，就设 $t = ∣ z ∣^{2}$ 。平方后看最低点是否在 $t \geq 9$ 范围内。

解：

$z \neq = 0$ 。设 $t = ∣ z ∣^{2} \geq 9$ 。 $z + \frac{1}{z}^{2} = (z + \frac{1}{z}) (\overline{z} + \frac{1}{z}) = t + \frac{1}{t} + \frac{z ^{2} + z ^{2}}{t}$ 。由 $z + \overline{z} = 6$ 得 $z^{2} + \overline{z}^{2} = 36 - 2 t$ ，所以式子等于 $t - 2 + \frac{37}{t}$ 。 $t_{2} > t_{1} \geq 9$ 时 $(t_{2} + \frac{37}{t _{2}}) - (t_{1} + \frac{37}{t _{1}}) = (t_{2} - t_{1}) (1 - \frac{37}{t _{1} t _{2}}) > 0$ ，所以 $t = 9$ 时最小，值为 $9 - 2 + \frac{37}{9} = \frac{100}{9}$ 。这时 $y = 0$ ， $z = 3$ ，代回： $3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ 。

答案：

最小值 $\frac{10}{3}$ ，在 $z = 3$ 时取到。

五、容易错在哪

求完模平方的最值后要开方。模非负，开方不改变最值的位置。
最低点要先看在不在范围内。最低点在范围外时，最小值常常在端点取到，直接套“最低点的值”会算错。
只算驻点不比较端点是常见错误；对含绝对值的函数，尖点也要算进去比较。
用判别式求斜率时，要确认圆上的点 $x \neq = 0$ ，还要确认取到边界的交点没有被题目删去。

进阶：求导 · 先修：导数的计算

求导比较驻点和端点

多项式 $F (x)$ 在闭区间 $[p, q]$ 上的最值，只可能在 $F^{'} (x) = 0$ 的点（驻点）和两个端点取到，把这些点的值都算出来比较。只算驻点会漏端点。这一条说的是多项式这样可导的函数；含 $∣ x ∣$ 的函数在尖点处没有导数，要另外比较。

例 3：三次式：驻点和端点都比较

$∣ z ∣ = 1$ ， $x = Re z$ ，求 $x ∣ z - 1 ∣^{2} ∣ z + 1 ∣^{2}$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

两个距离平方都只和 $x$ 有关，乘起来是 $x$ 的三次式。

解：

$∣ z - 1 ∣^{2} = 2 - 2 x$ ， $∣ z + 1 ∣^{2} = 2 + 2 x$ ，所以式子是 $F (x) = 4 x (1 - x^{2}) = 4 x - 4 x^{3}$ ， $- 1 \leq x \leq 1$ 。 $F^{'} (x) = 4 - 12 x^{2}$ ，驻点 $x = \pm \frac{1}{3}$ ，都在区间内。比较： $F (\pm 1) = 0$ ， $F (\frac{1}{3}) = \frac{4}{3} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{8 3}{9}$ ， $F (- \frac{1}{3}) = - \frac{8 3}{9}$ 。 $x$ 在 $[- 1, 1]$ 内都对应圆上的点，所以都能取到。

答案：

最大值 $\frac{8 3}{9}$ ，最小值 $- \frac{8 3}{9}$ 。

进阶：斜率与判别式 · 先修：一元二次方程的判别式和根与系数的关系

点在圆上时，斜率用判别式

点 $(x, y)$ （ $x \neq = 0$ ）与原点连线的斜率是 $k = \frac{y}{x}$ ，表示直线 $y = k x$ 。把 $y = k x$ 代入圆的方程，得到关于 $x$ 的二次方程。这条直线与圆有交点，当且仅当方程有实根，即判别式 $\geq 0$ 。二次项系数 $1 + k^{2} > 0$ ，所以这是真正的二次方程。还要确认圆上没有 $x = 0$ 的点，或者把这种点另外处理，再确认取到边界的交点没有被题目删去。

例 4：过原点的直线与圆的两个交点

圆 $∣ z - 2 - i ∣ = 1$ 与直线 $y = k x$ 交于两点，对应复数 $z_{1}, z_{2}$ 。证明 $∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣$ 与 $k$ 无关，并求它的值。

怎么看出来：

代入 $y = k x$ 得到 $x$ 的二次方程， $∣ z ∣$ 能用 $x$ 表示，再用根与系数的关系。

解：

圆是 $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 。代入 $y = k x$ ，整理得 $(1 + k^{2}) x^{2} - (4 + 2 k) x + 4 = 0$ 。两根 $x_{1}, x_{2}$ 的积是 $\frac{4}{1 + k ^{2}}$ （根与系数的关系）。圆上 $1 \leq x \leq 3$ ，所以两根都是正数。交点 $z_{j} = x_{j} + k x_{j} i$ ， $∣ z_{j} ∣ = x_{j} 1 + k^{2}$ 。于是 $∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣ = x_{1} x_{2} (1 + k^{2}) = 4$ ，与 $k$ 无关。检查： $k = 1$ 时方程是 $2 x^{2} - 6 x + 4 = 0$ ， $x = 1, 2$ ，交点 $1 + i, 2 + 2 i$ 都在圆上， $2 \cdot 22 = 4$ 。

答案：

$∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣ = 4$ 。

进阶：半径取值

值域当半径用

若 $∣ w ∣ = 1$ ，则 $∣2 + w ∣$ 取遍 $[1, 3]$ 。集合 ${z : ∣ z ∣ = ∣2 + w ∣, ∣ w ∣ = 1}$ 是所有半径在 $[1, 3]$ 内的同心圆的并集，也就是圆环，面积 $π (3^{2} - 1^{2}) = 8 π$ 。半径最小值是 $0$ 时圆环变成整个圆盘。

两个根式相加先平方

设 $p \geq ∣ q ∣$ ， $A = p + q, B = p - q$ 。则 $(A + B)^{2} = 2 p + 2 p^{2} - q^{2}$ ，根号里的 $q$ 被平方了，变化的量只剩 $q^{2}$ 。距离和的题目平方后常出现这种形状。 $A + B \geq 0$ ，所以比较 $(A + B)^{2}$ 的大小，就是比较 $A + B$ 的大小。

真题

按这个方法练 · 9 题

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含模平方的题：展开，看混合项能不能消掉

$∣ u + v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} + 2 Re (u \overline{v})$ 。已知模时，先用它求出混合项 $Re (u \overline{v})$ ，再代入要求的式子。

完整讲解 · 例题 · 可练 6 题

一、是什么

展开公式从哪来

$∣ w ∣^{2} = w \overline{w}$ ，所以 $∣ u + v ∣^{2} = (u + v) (\overline{u} + \overline{v}) = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} + u \overline{v} + \overline{u} v$ 。 $u \overline{v}$ 和 $\overline{u} v$ 互为共轭，相加等于实部的 2 倍。 $Re$ 表示取实部。验算： $u = 1 + 2 i, v = 3 - i$ 时 $u \overline{v} = (1 + 2 i) (3 + i) = 1 + 7 i$ ，实部为 $1$ ；左边 $∣4 + i ∣^{2} = 17$ ，右边 $5 + 10 + 2 = 17$ 。减法只改符号： $∣ u - v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} - 2 Re (u \overline{v})$ 。

混合项就是向量内积

设 $u = x_{1} + y_{1} i, v = x_{2} + y_{2} i$ ，则 $Re (u \overline{v}) = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ ，这是两个向量对应坐标相乘再相加。 $u, v$ 都不为 $0$ 时，这个量为 $0$ 表示两向量垂直，此时 $∣ u + v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2}$ 。例如 $u = 1 + 2 i, v = - 2 + i$ ： $- 2 + 2 = 0$ ， $∣ u + v ∣^{2} = ∣ - 1 + 3 i ∣^{2} = 10 = 5 + 5$ 。注意不要混淆：垂直是 $u \overline{v}$ 的实部为 $0$ ，而虚部为 $0$ 表示两向量共线。

和与差相加，混合项消失

把 $∣ u + v ∣^{2}$ 和 $∣ u - v ∣^{2}$ 两式相加，混合项抵消： $∣ u + v ∣^{2} + ∣ u - v ∣^{2} = 2∣ u ∣^{2} + 2∣ v ∣^{2}$ 。验算： $u = 1 + 2 i, v = 3 - i$ 时 $17 + 13 = 30 = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 10$ 。

圆上一次式的最值

设实数 $p, q$ 不全为 $0$ 。直接展开可验证 $(p x + q y)^{2} + (q x - p y)^{2} = (p^{2} + q^{2}) (x^{2} + y^{2})$ ，所以 $(p x + q y)^{2} \leq (p^{2} + q^{2}) (x^{2} + y^{2})$ 。在 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上， $p x + q y \leq p^{2} + q^{2}$ ，等号在 $(x, y) = \frac{( p , q )}{p ^{2} + q ^{2}}$ 时取到。例如 $3 x + 4 y \leq 5$ ，在 $(x, y) = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ 取到。

先看一道例题

例 1：三个单位模数，求两两距离平方和

$∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1$ ， $∣ a + b + c ∣ = 1$ ，求 $∣ a - b ∣^{2} + ∣ b - c ∣^{2} + ∣ c - a ∣^{2}$ 。

怎么看出来：

目标和已知都能展开成模平方和混合项，混合项之和只有一个未知量 $T$ 。

解：

设 $T = Re (a \overline{b} + b \overline{c} + c \overline{a})$ 。 $∣ a + b + c ∣^{2} = 3 + 2 T = 1$ ，所以 $T = - 1$ 。目标中每个距离平方是 $2 - 2 Re (\dots)$ ，相加得 $6 - 2 T = 8$ 。检查： $a = 1, b = - 1, c = 1$ 满足条件， $∣ a - b ∣^{2} = 4$ ， $∣ b - c ∣^{2} = 4$ ， $∣ c - a ∣^{2} = 0$ ，和为 $8$ 。

答案：

$8$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
几个数的模和它们的和的模已知，目标是两两距离或线性组合	展开，求混合项之和或 $Re (u \overline{v})$
同时出现 $∣ u + v ∣$ 和 $∣ u - v ∣$	两式相加，混合项消失
$∣ z ∣$ 固定，目标是几个距离平方之和	展开后平方项合并，只剩 $p x + q y$
两个等模的数，差是已知数	设中点和差（见进阶“等模弦的中点”）
向量垂直	内积为 $0$ ， $∣ u + v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2}$
目标是模平方之和，要求下界	写出某个和的模平方 $\geq 0$ ，得到混合项的下界

三、怎么用

写出已知，把混合项记作 $R = Re (u \overline{v})$ 。例如 $∣ u ∣ = 1, ∣ v ∣ = 2, R = 1$ ， $t$ 是实数，求 $∣ u + t v ∣$ 的最小值。
展开目标。 $t$ 是实数，所以 $Re (u \cdot \overline{t v}) = tR$ ，于是 $∣ u + t v ∣^{2} = 1 + 4 t^{2} + 2 t$ 。
代入后化简求值：配方得 $4 (t + \frac{1}{4})^{2} + \frac{3}{4}$ ， $t = - \frac{1}{4}$ 时最小，值为 $\frac{3}{4}$ 。
开方，并确认这样的数存在： $∣ R ∣ \leq ∣ u ∣∣ v ∣ = 2$ 成立，取 $u = 1, v = 1 + 3 i$ ， $t = - \frac{1}{4}$ 时 $u + t v = \frac{3}{4} - \frac{3}{4} i$ ，模是 $\frac{3}{2}$ 。

四、再做一道

例 2：混合项相加抵消，距离平方和是定值

设 $ω = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ ， $\overline{ω} = ω^{2}$ ， $1 + ω + ω^{2} = 0$ 。若 $∣ z ∣ = 2$ ，求 $∣ z - 1 ∣^{2} + ∣ z - ω ∣^{2} + ∣ z - ω^{2} ∣^{2}$ 。

怎么看出来：

每项都按减法公式展开，混合项里都有 $z$ ，合起来是 $z$ 和 $1 + ω + ω^{2}$ 的内积。

解：

$1, ω, ω^{2}$ 的模都是 $1$ ，所以每项是 $∣ z ∣^{2} + 1 - 2 Re (z \overline{p})$ ， $p$ 依次取 $1, ω, ω^{2}$ 。相加得 $3∣ z ∣^{2} + 3 - 2 Re (z (1 + \overline{ω} + \overline{ω^{2}}))$ 。括号是 $1 + ω + ω^{2}$ 的共轭，等于 $0$ ，所以结果是 $3 \cdot 4 + 3 = 15$ ，与 $z$ 的方向无关。检查 $z = 2$ ： $∣ z - 1 ∣^{2} = 1$ ； $∣2 - ω ∣^{2} = \frac{25}{4} + \frac{3}{4} = 7$ ； $∣2 - ω^{2} ∣^{2} = 7$ ；和为 $15$ 。

答案：

$15$ 。

五、容易错在哪

复数乘积 $uv$ 和内积不同，内积要用 $Re (u \overline{v})$ ，不要漏掉共轭。
垂直要求 $u, v$ 都不为 $0$ ，且实部 $Re (u \overline{v}) = 0$ 。虚部为 $0$ 表示共线，不是垂直。
最值要给出取等的点。一次式的上界要能在圆上取到，方向反了只能得到下界。
等模两数有两个镜像位置，除非目标对两种位置结果相同，否则都要留下。

进阶：等模弦的中点

等模的两个数：用中点和差表示

设 $∣ u ∣ = ∣ v ∣$ ， $w = u - v \neq = 0$ ， $q = \frac{u + v}{2}$ ，则 $u = q + \frac{w}{2}, v = q - \frac{w}{2}$ 。 $∣ u ∣^{2} - ∣ v ∣^{2} = 2 Re (q \overline{w}) = 0$ ，所以 $q$ 和 $w$ 内积为 $0$ 。乘 $i$ 把向量转 $9 0^{\circ}$ ： $(a + bi) i = - b + ai$ ，所以 $q = t i w$ ， $t$ 是实数； $t = 0$ 就是 $q = 0$ ，即 $u = - v$ 。再由 $∣ q ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} - \frac{∣ w ∣ ^{2}}{4}$ 得 $∣ t ∣$ ， $t$ 的正负对应两个镜像位置，都要保留，除非最后的目标对两种位置结果相同。

例 3：等模两数的和差之比

$∣ u ∣ = ∣ v ∣$ ，且 $u \neq = v$ 。证明 $\frac{u + v}{u - v}$ 是实部为 $0$ 的数；并求 $u = 3 + 4 i, v = 5$ 时它的值。

怎么看出来：

中点 $q$ 和差 $w$ 内积为 $0$ ，商的实部正是这个内积除以 $∣ w ∣^{2}$ 。

解：

令 $w = u - v \neq = 0$ ， $q = \frac{u + v}{2}$ ，则 $\frac{u + v}{u - v} = \frac{2 q}{w} = \frac{2 q w}{∣ w ∣ ^{2}}$ ，实部是 $\frac{2 Re ( q w )}{∣ w ∣ ^{2}}$ 。由等模的中点关系， $Re (q \overline{w}) = 0$ ，所以实部为 $0$ 。若 $u = - v$ ，值是 $0$ ，也满足实部为 $0$ ，这时不算纯虚数。代数值： $\frac{8 + 4 i}{- 2 + 4 i} = \frac{( 8 + 4 i ) ( - 2 - 4 i )}{20} = \frac{- 40 i}{20} = - 2 i$ 。

答案：

实部为 $0$ ；所给数值时等于 $- 2 i$ 。

进阶：和固定的单位模数

和固定时，分离出一项

三角不等式 $∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ 表示两边之和不小于第三边。若 $m + 1$ 个单位模的数之和是 $S$ （ $m \geq 1$ ），把其中一个 $z$ 分出来，其余 $m$ 个的和是 $S - z$ ，所以 $∣ S - z ∣ \leq m$ 。展开这个不等式，就得到 $z$ 的实部、虚部要满足的条件，这只是必要条件。若 $∣ S - z ∣ = m$ ，其余各项都取 $\frac{S - z}{m}$ ，模恰好是 $1$ ，和也对。若 $∣ S - z ∣ < m$ ，这样取模就不是 $1$ ，要另外构造。

进阶：模平方非负

三个数的展开，以及模平方非负

$∣ a + b + c ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} + 2 T$ ，其中 $T = Re (a \overline{b} + b \overline{c} + c \overline{a})$ 。证法和两个数相同： $w \overline{w}$ 展开后，每对互为共轭的项相加是实部的 2 倍。验算： $a = 1, b = - 1, c = 1$ 时， $T = - 1 - 1 + 1 = - 1$ ，右边 $3 - 2 = 1$ ，左边 $∣1 ∣^{2} = 1$ 。模平方非负，所以 $∣ a + b + c ∣^{2} \geq 0$ 就给出 $T$ 的下界，等号当且仅当 $a + b + c = 0$ 。

例 4：用模平方非负求范围

$∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1$ ，求 $∣ a + b ∣^{2} + ∣ b + c ∣^{2} + ∣ c + a ∣^{2}$ 的最小值和最大值。

怎么看出来：

展开后只剩混合项之和 $T$ 。 $∣ a + b + c ∣^{2} \geq 0$ 给下界，每一项不超过 $4$ 给上界。

解：

每项是 $2 + 2 Re (\dots)$ ，相加得 $6 + 2 T$ 。由 $∣ a + b + c ∣^{2} = 3 + 2 T \geq 0$ 得 $2 T \geq - 3$ ，所以和 $\geq 3$ ，等号当且仅当 $a + b + c = 0$ ，例如 $a = 1, b = ω, c = ω^{2}$ （ $ω = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ ），这时 $∣1 + ω ∣ = ∣ ω + ω^{2} ∣ = ∣ ω^{2} + 1∣ = 1$ ，和为 $3$ 。又 $∣ a + b ∣ \leq 2$ ，每项不超过 $4$ ，和不超过 $12$ ， $a = b = c = 1$ 时取到。

答案：

最小值 $3$ ，最大值 $12$ 。

真题

按这个方法练 · 6 题

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固定模的复数：倒数换共轭，高次方程先取模

已知 $∣ z ∣$ 时， $\frac{1}{z}$ 可以换成共轭： $\frac{1}{z} = \frac{z}{∣ z ∣ ^{2}}$ 。这样含倒数的式子就变成实部、虚部的式子。高次方程取模只得到必要条件，它常能定出模或缩小范围，最后都要代回原方程。

完整讲解 · 例题 · 可练 7 题

一、是什么

记号：模和共轭

$z = x + y i$ （ $x, y$ 为实数）的模是 $∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ ，就是点 $(x, y)$ 到原点的距离；共轭是 $\overline{z} = x - y i$ 。两者的关系是 $z \overline{z} = x^{2} + y^{2} = ∣ z ∣^{2}$ ，还有 $z + \overline{z} = 2 x$ 。乘积的模等于模的乘积： $∣ uv ∣ = ∣ u ∣∣ v ∣$ ，所以 $∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$ 。

倒数换共轭

$z \neq = 0$ 时，由 $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$ 得 $\frac{1}{z} = \frac{z}{∣ z ∣ ^{2}}$ 。若 $∣ z ∣ = 1$ ，就是 $\frac{1}{z} = \overline{z}$ 。例如 $z = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ 模为 $1$ ， $\frac{1}{z} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ ，乘回去： $\frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$ 。模不是 $1$ 时不能省略分母： $z = 2$ 时 $\frac{1}{z} = \frac{1}{2}$ ，而 $\overline{z} = 2$ 。

单位模： $z + \frac{1}{z}$ 就是实部的 2 倍

$∣ z ∣ = 1$ 时， $z + \frac{1}{z} = z + \overline{z} = 2 x$ 。例如 $z = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ 时 $z + \frac{1}{z} = \frac{6}{5}$ 。

非实数 $z$ 使 $z + \frac{c}{z}$ 为实数时，模就确定了

设实数 $c > 0$ ， $z = x + y i$ ， $y \neq = 0$ 。 $\frac{c}{z} = \frac{c ( x - y i )}{∣ z ∣ ^{2}}$ ，所以 $z + \frac{c}{z}$ 的虚部是 $y - \frac{cy}{∣ z ∣ ^{2}} = y (1 - \frac{c}{∣ z ∣ ^{2}})$ 。它为 $0$ 且 $y \neq = 0$ ，只能 $∣ z ∣^{2} = c$ 。这时 $\frac{c}{z} = \overline{z}$ ， $z + \frac{c}{z} = 2 x$ 。两个前提都要看：若 $y = 0$ ，每个非零实数都使这个式子是实数，模定不下来；若 $c \leq 0$ ，括号恒为正，非实数 $z$ 根本不满足条件。

先看一道例题

例 1：单位模：求全部的 $z$

已知 $∣ z ∣ = 1$ ， $z + \frac{1}{z} = - 1$ ，求 $z$ 。

怎么看出来：

有单位模和倒数，直接把 $\frac{1}{z}$ 换成 $\overline{z}$ 。

解：

设 $z = x + y i$ 。 $∣ z ∣ = 1$ 时 $\frac{1}{z} = \overline{z}$ ，条件变成 $2 x = - 1$ ， $x = - \frac{1}{2}$ 。由 $x^{2} + y^{2} = 1$ 得 $y = \pm \frac{3}{2}$ 。代回： $z = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ 时 $\frac{1}{z} = - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ ，和为 $- 1$ ；另一个符号相同。

答案：

$z = - \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
已知 $∣ z ∣ = 1$ ，式子含 $\frac{1}{z}$	换成 $\overline{z}$ ，再看实部、虚部
$z$ 不是实数， $z + \frac{c}{z}$ 是实数（ $c > 0$ ）	比较虚部，得 $∣ z ∣^{2} = c$
方程可写成 $z^{n} F (z) = c$ 且 $∣ z ∣ = 1$ ，或同时含 $z^{n}$ 和 $\overline{z}$	两边取模得到必要条件，再代回原方程（见进阶“高次方程先取模”）
$∣ z ∣$ 是固定的数但不是 $1$ ，式子含 $\frac{1}{z}$	用 $\frac{1}{z} = \frac{z}{∣ z ∣ ^{2}}$ ，保留分母（见进阶“模不是 1”）

三、怎么用

写出模的条件。以 $∣ z ∣ = 1, z + \frac{1}{z} = 1$ 为例，条件就是 $∣ z ∣ = 1$ 。
把倒数换成共轭： $\frac{1}{z} = \overline{z}$ ，式子变成 $z + \overline{z} = 2 x$ ，于是 $2 x = 1$ ， $x = \frac{1}{2}$ 。
用模的条件求另一个量： $x^{2} + y^{2} = 1$ ，得 $y^{2} = \frac{3}{4}$ ， $y = \pm \frac{3}{2}$ 。
代回原式检查： $z = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ 时 $\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ ，和为 $1$ ，成立。两个符号都要留下，再看题目有没有排除实数或别的点。

四、再做一道

例 2：非实数条件定模，再求范围

$z$ 不是实数， $z + \frac{3}{z}$ 是实数。求 $z + \frac{3}{z}$ 的取值范围。

怎么看出来：

没有直接给模，但“非实数”加“这个和是实数”能推出 $∣ z ∣^{2} = 3$ 。端点要看非实数这个限制。

解：

设 $z = x + y i$ ， $y \neq = 0$ 。虚部 $y (1 - \frac{3}{∣ z ∣ ^{2}}) = 0$ ，所以 $∣ z ∣^{2} = 3$ ， $\frac{3}{z} = \overline{z}$ ， $z + \frac{3}{z} = 2 x$ 。由 $x^{2} + y^{2} = 3$ 且 $y \neq = 0$ ，得 $x^{2} < 3$ ， $- 3 < x < 3$ 。反过来，这个范围内任取 $x$ ，令 $y = 3 - x^{2} \neq = 0$ ，就得到满足条件的 $z$ ，所以 $2 x$ 能取遍 $(- 23, 23)$ 。端点 $x = \pm 3$ 对应 $y = 0$ ， $z$ 是实数，被排除。例如 $x = 1, y = 2$ 时， $(1 + 2 i) + \frac{3}{1 + 2 i} = 2$ 。

答案：

$- 23 < z + \frac{3}{z} < 23$ 。

五、容易错在哪

$\frac{1}{z} = \overline{z}$ 只在 $∣ z ∣ = 1$ 时成立。一般要写 $\frac{1}{z} = \frac{z}{∣ z ∣ ^{2}}$ ，且 $z \neq = 0$ 。
由 $z + \frac{c}{z}$ 为实数推出 $∣ z ∣^{2} = c$ ，要用到 $z$ 不是实数和 $c > 0$ 。 $z$ 是非零实数时这个和总是实数。
取模后得到的点不一定是原方程的根，每一个都要代回原方程。
用相对位置把 $z_{1}$ 转到 $1$ 上时，只是换了坐标。若题目要求某个数不是实数，要回到原来的数检查。

进阶：模不是 1

模不是 1 时保留因子

$∣ z ∣ = r$ （ $r > 0$ ）时， $\frac{1}{z} = \frac{z}{r ^{2}}$ 。所以 $z + \frac{1}{z} = (1 + \frac{1}{r ^{2}}) x + (1 - \frac{1}{r ^{2}}) y i$ ，实部、虚部的系数不同，不再只是 $2 x$ 。

例 3：模不是 1 时求范围

已知 $∣ z ∣ = 2$ ，求 $z + \frac{1}{z}$ 的取值范围。

怎么看出来：

模是 $2$ ，倒数要保留 $∣ z ∣^{2} = 4$ 。

解：

设 $z = x + y i$ ， $x^{2} + y^{2} = 4$ 。 $\frac{1}{z} = \frac{x - y i}{4}$ ，所以 $z + \frac{1}{z} = \frac{5}{4} x + \frac{3}{4} y i$ 。模的平方是 $\frac{25 x ^{2} + 9 y ^{2}}{16} = \frac{9 ( x ^{2} + y ^{2} ) + 16 x ^{2}}{16} = \frac{9}{4} + x^{2}$ 。 $x$ 可取 $[- 2, 2]$ 内任何值（令 $y = 4 - x^{2}$ ），所以 $x^{2}$ 取遍 $[0, 4]$ ，模的平方取遍 $[\frac{9}{4}, \frac{25}{4}]$ 。检查： $z = 2$ 时值为 $\frac{5}{2}$ ； $z = 2 i$ 时 $2 i + \frac{1}{2 i} = \frac{3}{2} i$ ，模为 $\frac{3}{2}$ 。

答案：

$\frac{3}{2} \leq z + \frac{1}{z} \leq \frac{5}{2}$ 。

进阶：高次方程先取模

高次方程：取模只给必要条件

方程能写成 $z^{n} F (z) = c$ （ $F$ 不含 $n$ ）且 $∣ z ∣ = 1$ 时，两边取模， $n$ 就消失，得到 $∣ F (z) ∣ = ∣ c ∣$ 。 $F (z) = z - a$ 时，这就是两个圆相交。若 $∣ z ∣ = r > 0$ 且 $r \neq = 1$ ，取模得 $∣ F (z) ∣ = \frac{∣ c ∣}{r ^{n}}$ ，结果仍依赖 $n$ ； $r$ 未知时 $z = 0$ 要单独检查。不是每个方程取模都有这个效果： $∣ z ∣ = 1$ 时 $z^{4} = 1$ 取模得 $1 = 1$ ，什么点也定不出来。方程同时含 $z^{n}$ 和 $\overline{z}$ 时，取模还能定出模： $z^{2} = \overline{z}$ 给出 $∣ z ∣^{2} = ∣ z ∣$ ，所以 $∣ z ∣ = 0$ 或 $1$ 。 $∣ z ∣ = 1$ 时 $\overline{z} = \frac{1}{z}$ ，方程变成 $z^{3} = 1$ 。取模丢掉了角度，满足取模等式的 $z$ 不一定是解，必须代回原方程。

例 4：幂和共轭同时出现

求方程 $z^{3} = 4 \overline{z}$ 的全部复数解。

怎么看出来：

没有给模，但两边取模就能定出模。模定下来后，共轭可以换成倒数。

解：

两边取模： $∣ z ∣^{3} = 4∣ z ∣$ ，所以 $∣ z ∣ = 0$ 或 $∣ z ∣ = 2$ 。 $z = 0$ 代回成立。 $∣ z ∣ = 2$ 时 $\overline{z} = \frac{∣ z ∣ ^{2}}{z} = \frac{4}{z}$ ，方程变成 $z^{3} = \frac{16}{z}$ ，即 $z^{4} = 16$ 。分解： $(z^{2} - 4) (z^{2} + 4) = 0$ ， $z = \pm 2$ 或 $z = \pm 2 i$ ，它们的模都是 $2$ 。逐个代回： $z = 2$ 时 $8 = 4 \cdot 2$ ； $z = - 2$ 时 $- 8 = 4 \cdot (- 2)$ ； $z = 2 i$ 时 $z^{3} = - 8 i$ ， $4 \overline{z} = - 8 i$ ； $z = - 2 i$ 时 $z^{3} = 8 i$ ， $4 \overline{z} = 8 i$ 。

答案：

$z = 0, \pm 2, \pm 2 i$ 。

进阶：相对位置

相对位置：除以一个单位模的数不改变距离

若 $∣ z_{1} ∣ = 1$ ，令 $w = \frac{z _{2}}{z _{1}}$ ，则 $∣ z_{1} \pm z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣1 \pm w ∣ = ∣1 \pm w ∣$ ， $∣ w ∣ = ∣ z_{2} ∣$ 。这相当于把整个图形绕原点转到 $z_{1}$ 落在 $1$ 上，距离都不变。这只是计算时换的坐标；若原题要求 $z_{1}$ 不是实数，最后要回到原来的 $z_{1}$ 检查。

真题

按这个方法练 · 7 题

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含两个复数的等式：取比值，用乘法表示旋转和面积

复数乘法同时做伸缩和旋转。两个复数的比值 $t = \frac{u}{v}$ （ $v \neq = 0$ ）的模是长度比，方向是夹角。三角形面积也能用共轭乘积的虚部写出来。

完整讲解 · 例题 · 可练 8 题

一、是什么

乘 $i$ 是逆时针转 $9 0^{\circ}$

$(2 + i) i = - 1 + 2 i$ ，点 $(2, 1)$ 变到 $(- 1, 2)$ ：长度都是 $5$ ，且 $2 \cdot (- 1) + 1 \cdot 2 = 0$ ，两向量垂直。任何复数乘 $i$ 都这样，实部、虚部交换，再给新的实部变号。方向可以用 $1 \to i$ 判断，是逆时针。反方向转 $9 0^{\circ}$ 就乘 $- i$ ，用 $1 \to - i$ 判断方向。

比值：先证分母不为 0

若 $u^{2} + uv + v^{2} = 0$ 且 $v = 0$ ，就有 $u^{2} = 0$ ， $u = 0$ 。所以只要题目说 $u \neq = 0$ （或两数不全为零），就有 $v \neq = 0$ ，可以除以 $v^{2}$ ，得 $t^{2} + t + 1 = 0$ ，其中 $t = \frac{u}{v}$ 。解这个方程：配方 $(t + \frac{1}{2})^{2} = - \frac{3}{4}$ ，因为 $i^{2} = - 1$ ，所以 $t = - \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i$ 。 $∣ t ∣ = \frac{∣ u ∣}{∣ v ∣}$ 就是长度比。

三角形：先平移到同一个顶点

三个顶点 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ ，令 $u = z_{2} - z_{1}, v = z_{3} - z_{1}$ ，图形的形状和大小都不变，这时 $z_{1}$ 相当于原点。第三边长度是 $∣ u - v ∣$ 。

面积公式

以 $0, u, v$ 为顶点的三角形，面积是 $\frac{1}{2} ∣ Im (\overline{u} v) ∣$ ， $Im$ 表示取虚部。设 $u = x_{1} + y_{1} i, v = x_{2} + y_{2} i$ ，则 $Im (\overline{u} v) = x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ 。例如 $u = 3, v = 1 + 2 i$ ： $Im (3 (1 + 2 i)) = 6$ ，面积 $3$ ，和底 $3$ 、高 $2$ 算出的相同。绝对值不能省，它使两个镜像位置面积相同。

先看一道例题

例 1：齐次方程：求另一个比

$u, v$ 不全为零， $u^{2} + uv + v^{2} = 0$ ，求 $\frac{∣ u - v ∣}{∣ u + v ∣}$ 。

怎么看出来：

每项都是 $2$ 次，取比值后就是一元二次方程。先确认能除。

解：

若 $v = 0$ ，方程给出 $u = 0$ ，与不全为零矛盾，所以 $v \neq = 0$ 。令 $t = \frac{u}{v}$ ， $t^{2} + t + 1 = 0$ ， $t = - \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i$ 。 $\frac{∣ u - v ∣}{∣ u + v ∣} = \frac{∣ t - 1∣}{∣ t + 1∣}$ 。 $t + 1 = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i$ ，模为 $1$ ； $t - 1 = - \frac{3}{2} \pm \frac{3}{2} i$ ，模为 $3$ 。两个符号结果相同。

答案：

$3$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
等式每一项次数都相同，如 $u^{2} - uv + v^{2} = 0$	证 $v \neq = 0$ ，除以 $v^{2}$ ，解 $t = \frac{u}{v}$
垂直且等长：正方形、等腰直角	用乘 $\pm i$ 表示，两个方向都试
求三角形面积	平移到一个顶点，用 $\frac{1}{2} ∣ Im (\overline{u} v) ∣$
只给了几个模，要求比值或面积	比值是两个圆的交点（见进阶“比值的两个圆”）
等边三角形和距离的不等式	乘单位模的数拼折线（见进阶“旋转拼折线”）

三、怎么用

平移，让图形从一点出发。正方形对角线端点 $A = 1, C = 3 + 2 i$ ，以中心 $M = 2 + i$ 为起点， $h = C - M = 1 + i$ 。
写出复数关系。另一条对角线和它垂直且等长，所以另外两个顶点满足 $B - M = ih$ ， $D - M = - ih$ 。 $ih = - 1 + i$ 。
求出顶点。 $B = 1 + 2 i$ ， $D = 3$ 。这里 $h \neq = 0$ ，乘 $\pm i$ 给出两个方向，正好是两个顶点。
求目标量并检查。 $u = B - A = 2 i, v = D - A = 2$ ， $\overline{u} v = - 4 i$ ，三角形 $A B D$ 面积 $2$ ，正方形面积 $4$ ，等于 $\frac{1}{2} ∣ A C ∣^{2} = \frac{1}{2} \cdot 8$ 。

四、再做一道

例 2：由对角线求正方形

正方形 $A BC D$ 的对角线端点是 $A = 1 + i, C = 5 + 3 i$ 。求另外两个顶点和面积。

怎么看出来：

已知的是对角线，不是边。从中心看，两条半对角线垂直且等长，正好差一个乘 $i$ 。

解：

中心 $M = \frac{A + C}{2} = 3 + 2 i$ ， $h = C - M = 2 + i$ ， $ih = - 1 + 2 i$ 。另外两个顶点是 $M \pm ih$ ，即 $2 + 4 i$ 和 $4$ 。检查：记 $B = 2 + 4 i$ ， $B - A = 1 + 3 i$ ， $C - B = 3 - i$ ，模相等，内积 $3 - 3 = 0$ 。面积： $u = B - A = 1 + 3 i, v = 4 - A = 3 - i$ ， $\overline{u} v = (1 - 3 i) (3 - i) = - 10 i$ ，三角形 $A B D$ 面积 $5$ ，正方形面积 $10$ ，等于 $\frac{1}{2} ∣ A C ∣^{2} = \frac{1}{2} \cdot 20$ 。

答案：

另外两个顶点是 $2 + 4 i$ 和 $4$ ，面积 $10$ 。

五、容易错在哪

除以一个复数之前先证它不为 $0$ 。解释方向时，分子也要不为 $0$ ，否则 $0$ 没有方向。
面积公式要带绝对值。两个共轭的比值对应镜像图形，面积相同；但目标对镜像不对称时，两种情况要分别算。
乘 $i$ 是逆时针，乘 $- i$ 是顺时针。题目只说垂直或等腰直角时，两个方向都要留下。
折线下界要取到，点必须按顺序排在线段上。只看共线不够。

进阶：比值的两个圆

模的条件给出比值的两个圆

已知 $∣ u ∣, ∣ v ∣, ∣ u - v ∣$ 时， $t = \frac{u}{v}$ 满足 $∣ t ∣ = \frac{∣ u ∣}{∣ v ∣}$ ， $∣ t - 1∣ = \frac{∣ u - v ∣}{∣ v ∣}$ 。 $t$ 是两个圆的交点，设 $t = x + y i$ ，两式平方相减， $x^{2} + y^{2}$ 消掉，得到 $x$ 。两个共轭的交点对应两个镜像位置，只有目标对镜像不变时才能合并。

进阶：旋转拼折线

乘单位模的数不改变长度：拼折线

若 $∣ ρ ∣ = 1$ ，则 $∣ ρ a ∣ = ∣ a ∣$ 。把几个距离都写成向量的模，乘上合适的单位模数，让它们首尾相接成一条折线，折线长不小于首尾的距离。乘 $ρ = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ 是转 $6 0^{\circ}$ 。求 $∣ z - A ∣ + ∣ z - B ∣ + ∣ z - C ∣$ 时，令 $z^{'} - A = ρ (z - A)$ ， $C^{'} - A = ρ (C - A)$ 。 $z - z^{'} = (1 - ρ) (z - A)$ ，而 $∣1 - ρ ∣ = 1$ ，所以 $∣ z - A ∣ = ∣ z - z^{'} ∣$ ，又 $∣ z^{'} - C^{'} ∣ = ∣ z - C ∣$ ，和就是折线 $B \to z \to z^{'} \to C^{'}$ 的长，下界是 $∣ B - C^{'} ∣$ 。等号要求这 $4$ 点依次排在一条线段上，不是只要共线。

例 3：等边三角形的距离不等式

设 $ω = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ ， $ω^{3} = 1$ ， $1 + ω + ω^{2} = 0$ 。证明：对任何复数 $z$ ，都有 $∣ z - ω^{2} ∣ \leq ∣ z - 1∣ + ∣ z - ω ∣$ ，并给出一个取等的 $z$ 。

怎么看出来：

$1, ω, ω^{2}$ 是等边三角形的顶点。给每个距离乘一个单位模的数，让它们相加为 $0$ 。

解：

计算 $1 \cdot (z - 1) + ω (z - ω) + ω^{2} (z - ω^{2}) = z (1 + ω + ω^{2}) - (1 + ω^{2} + ω^{4})$ 。 $ω^{4} = ω$ ，所以括号都等于 $0$ ，和为 $0$ 。于是 $ω^{2} (z - ω^{2}) = - (z - 1) - ω (z - ω)$ 。取模， $∣ ω ∣ = 1$ ，由三角不等式得 $∣ z - ω^{2} ∣ \leq ∣ z - 1∣ + ∣ z - ω ∣$ 。取等： $z = - ω^{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ 时， $∣ z - 1∣ = 1$ ， $∣ z - ω ∣ = 1$ ， $∣ z - ω^{2} ∣ = 2$ ， $2 = 1 + 1$ 。

答案：

不等式成立； $z = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ 时取等。

进阶：由面积反求

例 4：由面积反求第三边

$∣ u ∣ = 2, ∣ v ∣ = 3$ ，以 $0, u, v$ 为顶点的三角形面积为 $5$ 。求 $∣ u - v ∣$ 。

怎么看出来：

面积给出 $\overline{u} v$ 的虚部，模给出 $∣ \overline{u} v ∣ = 6$ ，实部还有两个符号，对应锐角和钝角。

解：

$\frac{1}{2} ∣ Im (\overline{u} v) ∣ = 5$ ，所以虚部绝对值 $25$ 。 $∣ \overline{u} v ∣ = 6$ ，所以实部 $R$ 满足 $R^{2} = 36 - 20 = 16$ ， $R = \pm 4$ 。 $R$ 也等于 $Re (u \overline{v})$ ，因为两者互为共轭。 $∣ u - v ∣^{2} = 4 + 9 - 2 R$ ，是 $5$ 或 $21$ 。两种都能取到： $u = 2, v = 2 + 5 i$ 时 $∣ u - v ∣ = 5$ ； $u = 2, v = - 2 + 5 i$ 时 $∣ u - v ∣ = 21$ ，模和面积都符合。

答案：

$∣ u - v ∣ = 5$ 或 $21$ 。

进阶：平移到顶点

例 5：顶点的齐次关系

互异的 $z_{1} = 1, z_{2} = 3, z_{3}$ 满足 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} = z_{1} z_{2} + z_{2} z_{3} + z_{3} z_{1}$ ，求 $z_{3}$ 。

怎么看出来：

这是顶点的齐次式，平移到 $z_{1}$ 后变成 $u, v$ 的式子。

解：

令 $u = z_{2} - z_{1} = 2, v = z_{3} - z_{1}$ 。展开可验证原式等价于 $u^{2} - uv + v^{2} = 0$ 。代入 $u = 2$ ： $v^{2} - 2 v + 4 = 0$ ，配方 $(v - 1)^{2} = - 3$ ， $v = 1 \pm 3 i$ 。所以 $z_{3} = 2 \pm 3 i$ 。检查：两边 $∣ u ∣ = 2$ ， $∣ v ∣ = 2$ ， $∣ u - v ∣ = ∣1 \mp 3 i ∣ = 2$ ，是等边三角形；代入原式， $1 + 9 + z_{3}^{2} = 3 + 4 z_{3}$ ，由 $z_{3}^{2} = 4 z_{3} - 7$ 得两边都是 $3 + 4 z_{3}$ 。

答案：

$z_{3} = 2 \pm 3 i$ 。

真题

按这个方法练 · 8 题

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误区对照

容易误以为

$(z + 1) / (z - 1)$ 为纯虚数，所以轨迹就是整个单位圆。

应当这样想

写 $z = x + y i$ ，乘分母共轭后商的实部为 $(x^{2} + y^{2} - 1) / ((x - 1)^{2} + y^{2})$ 。纯虚数给 $∣ z ∣ = 1$ ，还要删去分母零点 $1$ 与零商点 $- 1$ 。

为什么

纯虚数不是任意实部为零的复数；还须其虚部非零。

容易误以为

$∣ z ∣ = 1$ 且 $z$ 非实，仍可在 $z = 1, - 1$ 取到 $∣ z - 2∣$ 的最小值 $1$ 与最大值 $3$ 。

应当这样想

模平方为 $5 - 4 Re z$ ；非实性将实部限制为 $(- 1, 1)$ ，所以距离范围为 $(1, 3)$ ，只有下确界与上确界。

为什么

闭圆周的等号点被附加条件删除后，原界可能不再是实际最值。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 41 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。

复数的几何意义

从这里开始

知识要点

方法卡

复数分式的实部虚部条件：化成圆或直线，再把要删的点删掉

一、是什么

记号：复数和点

分式怎么分出实部和虚部

实部为零：配方得到圆

虚部为零：直线，比值的符号决定位置

必须检查的 4 件事

轨迹上到定点的距离

先看一道例题

例 1：非零纯虚数

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：被删的点影响个数

五、容易错在哪

实部和虚部之比

分式里有倒数，取实数

点的共线与变换

例 3：比值和删点

例 4：轨迹是并集

例 5：变换后的轨迹

复数模的最值：看成点到圆、线段的距离

一、是什么

模就是距离

点到圆的距离范围

两个动点在两个圆上

圆盘和圆周不同

线段：用参数和配方

距离和等于两点距离：是线段

系数不是 1：提出来

先看一道例题

例 1：一个圆在另一个圆内

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：线段上的点和圆上的点

五、容易错在哪

分式：约分或拆开，记住删去的点

例 3：靠近删点时没有上界

多个距离：配对用三角不等式

3 个距离：旋转 60∘ 拼折线

例 4：4 个距离配对

圆上的模最值：平方后变成一个实数变量

一、是什么

记号：模平方怎么展开

圆上，z 的很多量只和实部有关

单位圆上，提出一个 z

圆心不在原点就先平移

实部固定时，用 t=∣z∣2

先看最低点在不在范围内

先看一道例题

例 1：圆上多项式的实部

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：实部固定，最低点取不到

五、容易错在哪

求导比较驻点和端点

例 3：三次式：驻点和端点都比较

点在圆上时，斜率用判别式

例 4：过原点的直线与圆的两个交点

值域当半径用

两个根式相加先平方

含模平方的题：展开，看混合项能不能消掉

一、是什么

展开公式从哪来

混合项就是向量内积

和与差相加，混合项消失

圆上一次式的最值

先看一道例题

例 1：三个单位模数，求两两距离平方和

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：混合项相加抵消，距离平方和是定值

五、容易错在哪

3 个距离：旋转 $6 0^{\circ}$ 拼折线

圆上， $z$ 的很多量只和实部有关

单位圆上，提出一个 $z$

实部固定时，用 $t = ∣ z ∣^{2}$

单位模： $z + \frac{1}{z}$ 就是实部的 2 倍

非实数 $z$ 使 $z + \frac{c}{z}$ 为实数时，模就确定了

例 1：单位模：求全部的 $z$

乘 $i$ 是逆时针转 $9 0^{\circ}$