2024 年中科大少年班营一 · 第 2 题

解答

由 $x>-1$ 得 $a_1>1$。对 $u>1$，设 $T(u)=\sqrt{2u+3}$。若 $1<u<3$，则 $u<T(u)<3$；若 $u>3$，则 $3<T(u)<u$，这是因为 $T(u{)}^2-u^2=-(u-3)(u+1)$。 所以当 $a_1\ne 3$ 时，数列严格单调，且所有项位于端点为 $a_1$ 与 $3$ 的有界区间内。该区间只含有限多个整数，严格单调又不可能重复取同一个整数，因此整数项只能有有限个。 若 $a_1=3$，则所有项恒等于 $3$，符合条件。由 $\sqrt{2x+3}=3$ 解得 $\boxed{x=3}$。