培玉 · 一试

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2011 年河北预赛 · 第 14 题

F3解答题递推数列

已知数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 满足

a_{1} = 2 p, a_{n + 1} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{p ^{2}}{a _{n}}), b_{n} = \frac{a _{n} + p}{a _{n} - p} (n \in N^{*}, p > 0) .

(1)
求数列 ${b_{n}}$ 的通项；
(2)
证明： $\frac{a _{n} - p}{a _{n + 1} - p} = 3^{2^{n - 1}} + 1$ ；
(3)
设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，当 $n \geq 2$ 时， $S_{n}$ 与 $(n + \frac{23}{18}) p$ 的大小关系是否确定？请说明理由。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

三个问题依次用到交比平方、误差比和分段尾估计，需避免把第二项后的收缩系数提前用于首项。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：整体换元并求新变量范围、递推的不变区间与临界值

专题卡：根式和平方型递推：平移配方，或用共轭数控制误差、数列只问范围：不变区间、单调和夹逼