2016 年湖南预赛 · 第 16 题

解答

若有三数 $u,v,w$ 不能作三角形，令最大者为 $w\ge u+v=s$，并记 $r=w/s\ge 1$。柯西给 $1/u+1/v\ge 4/s$，故三数的和与倒数和之积 $P_3\ge (s+w)(4/s+1/w)=5+4r+1/r\ge 10$，最后一项由 $(r-1)(4r-1)/r\ge 0$ 得到。设第四数为 $t>0$，全体乘积等于 $P_3+1+(t/u+u/t)+(t/v+v/t)+(t/w+w/t)\ge P_3+7\ge 17$，矛盾。因此任取三数均能作非退化三角形。四数互异，四个不同三元子集有不同边长组，故确有 $\boxed{4}$ 个不同三角形。