2009 年辽宁预赛 · 第 15 题

解答

设 $a=BC,b=CA,c=AB$，以A为原点，从A沿AB、AC的单位向量为 $\mathbf{u},\mathbf{v}$。则 $B=c\mathbf{u},C=b\mathbf{v},D=b\mathbf{u}$。令 $T=(c\mathbf{v}-b\mathbf{u})/a$，余弦定理给 $|T|=1$。又原外接圆在A处的切线方向与T平行：取u为横轴、夹角A为θ，圆方程可写为

其在原点的切线方向正是 $(c\cos \theta -b,c\sin \theta )$。按题图E在AB的C同侧，故 $E=bT$。内心的边长加权坐标为

于是

而

因此I在线段DE内部，特别地