2025 年广东预赛

解答

双曲线的参数为

故

设右支上一点 $X=(x,y)$，则

三角形 $X{F}_1{F}_2$ 的内心 $I$ 按三边长作重心坐标，得到

令

由双曲线方程可得 $-1<u<1$，且 (1) 写成

反过来，

设点 $A,B$ 对应的参数分别为 $u,v$。由 (3)，直线 $F_{2}X$ 的斜率为

$A,B,F_2$ 共线，说明 $u,v$ 是同一个方程

的两根，因而

由 $|u|,|v|<1$，两者异号。交换 $A,B$ 后可设

于是

1. (1)

   四边形 $P{F}_{1}Q{F}_2$ 的两条对角线互相垂直，长度分别为

   $$PQ=p+\frac{3}{p},F_1{F}_2=4\sqrt{3}.$$

   所以

   $$S=2\sqrt{3}\left(p+\frac{3}{p}\right).$$

   当 $1<p<3$ 时，

   $$p+\frac{3}{p}\ge 2\sqrt{3},$$

   等号在 $p=\sqrt{3}$ 时取得；而该函数在区间两端都趋于 $4$，但端点不能取得。 故

   $$\boxed{S\in [12,8\sqrt{3})}.$$
2. (2)

   对任意右支点 $X=(x,y)$ 及其内心 $I=(\sqrt{3},\sqrt{3}y/(x+\sqrt{3}))$， 直线 $XI$ 与 $x$ 轴的交点横坐标为

   $$\frac{3}{x}.\text{\hspace{1em}(6)}$$

   由 (3)、(5)，

   $$x_D=\sqrt{3}\frac{9-p^2}{9+p^2},x_E=\sqrt{3}\frac{p^2-1}{p^2+1}.$$

   因此

   $$DE=\sqrt{3}\frac{2|9-p^4|}{(9+p^2)(1+p^2)}.\text{\hspace{1em}(7)}$$

   在 $1<p<3$ 内，(7) 在 $p=\sqrt{3}$ 时取 $0$。并且

   $$\frac{2|9-p^4|}{(9+p^2)(1+p^2)}<\frac{4}{5}.$$

   事实上令 $t=p^2$：当 $1<t\le 3$ 时，上式等价于 $2(t-1)(7t+27)>0$；当 $3\le t<9$ 时，等价于 $-2(3t+7)(t-9)>0$。当 $p\to 1^{+}$ 或 $p\to 3^{-}$ 时， (7) 趋于 $4\sqrt{3}/5$。由连续性，

   $$\boxed{DE\in \left[0,\frac{4\sqrt{3}}{5}\right)}.$$