2024 年浙江预赛

解答

令

对 $0\le x\le A$，除去常数 $k_{1}A$ 后，函数 $h_A(x)=g(x)+f(A-x)$ 可写为

由（1）逐段比较可得：

1. •

   $0<A<2$ 时最小点包含一个非退化区间；

2. •

   $2\le A\le 3$ 时最小点唯一；

3. •

   $3<A<4$ 时最小点或唯一，或包含区间 $[A-2,2]$，仍不可能恰有两点。

因此若恰有两个最小点，必须 $A\ge 4$。

当 $A\ge 4$ 时，（1）的斜率和跳跃表明，只有 $x=1$ 与 $x=2$（均取跳跃前的函数值）可能成为最小点；其余各段分别严格下降、位于跳跃后的高位平台或严格上升。两点函数值之差为

故必要条件为

即

反之，若（2）成立，取任意 $A\ge 4$。在 $x=1$ 处函数向上跳 $11d_1/12=d_2$，随后在 $(1,2)$ 上以斜率 $-d_2$ 下降，故恰在 $x=2$ 回到与 $x=1$ 相同的值；在 $x=2$ 后又向上跳，其他各段均更大。因此最小值恰在 $x=1,2$ 两点取得，充分性成立。