2025 年中科大少年班营一 · 第 1 题

解答

写椭圆点为 $(3\cos \theta ,\sin \theta )$，则 $xy=(3/2)\sin 2\theta$。当 $0<|t|<3/2$ 时恰有四个交点，$|t|=3/2$ 时只有两个。$t=0$ 时曲线是两坐标轴的并，它与椭圆仍有 $(\pm 3,0),(0,\pm 1)$ 四个不同交点。因此 $\boxed{-3/2<t<3/2}$。非零 $t$ 时，取同一象限的交点 $P=(x_1,y_1),Q=(x_2,y_2)$，可令两横坐标为正；其平方是 $X^2-9X+9t^2=0$ 的两个正根。故 $x_1{x}_2=3|t|$，并有 $|\det (P,Q)|=|t(x_1/x_2-x_2/x_1)|=\sqrt{9-4t^2}$。另两点为 $-P,-Q$，四边形面积是此行列式绝对值的两倍，得到 $\boxed{S=2\sqrt{9-4t^2}}$。在 $t=0$ 时直接求菱形面积得六，也与该式一致。