同一骨架 2023 年江西预赛 · P006720
两题都先把原条件压缩为无量纲参数，再将目标与候选界的差拆成一个平方。这个平方不仅证明不等式，也把取等的参数关系一并留下，最后须回到原变量确认可实现。
一题的数列平均数藏着二次型，另一题的根式差量需要先开方换元；应比较非负分解怎样出现，而不是寻找相同外形。
培玉 · 一试
2026 年广西预赛
F2填空题等比数列与等差数列
设 为数列 的前 项之和，若不等式
对任何等差数列 及任何正整数 恒成立，则 的最大值为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
等差数列的平均数满足 ，因此原式只涉及首项与末项。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
把 作为自由变量后，最佳常数就是一个二次型相对于 的最小值。
解答
记 ，并令 。由等差数列求和公式，
于是
故 对所有等差数列和正整数 都成立。
另一方面，取 、、公差 ，则 、，从而
所以常数不能再增大，答案为
复核
当 时右端为 ，结论仍成立；当 时左端为 ，也不构成更小上界。 给出的 等号例确为合法等差数列，说明下界可以达到。
方法总结
含 与 的等差数列恒成立问题，应优先利用“算术平均等于首末项平均”， 把数列问题降为二元二次型；求最佳常数时既要配方证明下界，也要给出达到下界的合法数列。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
平均和写成首末项平均后，目标可直接配方，再选n=2实现平方项为零。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：用实参数表示后求全局最值、设首项和公差（公比）
联系 · 3 条
易混 2026 年湖南预赛 · P006041
两题都问数列条件下的最佳界，参数化以后却应走不同路线：平均数留下齐次二次型，适合配方；等差项与等比项的乘积还含可变公比，应先取允许区间再作单变量分析。
常数是否可达都要构造原数列，但不能把二次型的等号条件搬到混合乘积里，也不能跳过公比的正负约束。
易混 2020 年中科大少年班初试 第 11 题 · P009722
两题都求对整类数列有效的最佳常数，但最优常数的证据不同。平方型表达式可由合法等差数列在有限下标达到等号；严格的和式上界却可能只被归一化比值在远处逼近，不能强求有限下标取等。
证明界对全部对象成立，与证明常数不能再改进，是两件事。前者的有限等号构造不能照搬到后者的严格不等式中。
已记下，谢谢！