2024 年四川预赛

思路

椭圆参数化与和差公式把弦的方向转成平均角；对数比较式可由 $\ln \frac{1+s}{1-s}=2{\int }_0^s(1-t^2{)}^{-1}dt$ 证明，也可直接求导。

想法从哪来：弦斜率看似该用中值定理，但中间点未必受到交点条件的足够约束。先把两个交点放到椭圆上半部的角参数中，再取对数消掉指数，两点就是同一单峰函数的等高点。目标斜率界对应一族固定方向的平行线，考察x减常数倍y比直接求斜率更干净。峰值左右相同角距离处的函数值并不相等，比较这个不对称性，就能判断两等高点哪边偏得更远，继而比较所需线性组合。偏移超过小区间时直接由角度范围处理，只有剩余范围才用对数不等式；全程利用两点不同得到严格性。

用椭圆上半部的角参数表示交点。两交点对应同一函数值，比较极大点两侧等距离处的函数值即可比较两侧偏角。