2009 年陕西预赛 · 第 11 题

解答

展开后，恒等式等价于 $\cos \alpha +\sin \beta +\sqrt{2}=0$、$-\sin \alpha +\cos \beta =0$。因 $0<\alpha <\pi$，$\sin \alpha >0$，所以 $\cos \beta >0$；结合 $\pi <\beta <2\pi$，得 β 在第四象限，$\sin \beta <0$。由平方关系 $\sin \beta =-|\cos \alpha |$，第一式成为 $\cos \alpha -|\cos \alpha |+\sqrt{2}=0$。非负余弦支不可能，负支给 $\cos \alpha =-\sqrt{2}/2$。所以 $\boxed{\alpha =3\pi /4,\beta =7\pi /4}$。