2009 年河北预赛 · 第 17 题

已知函数 $f(x)=x^2-2$，设曲线 $y=f(x)$ 在点 $A(x_n,f(x_n))$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 处的切线与 $x$ 轴交于点 $B(x_{n+1},0)$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，且 $x_1=3$。

1. (1)

   求证：$x_n>\sqrt{2}$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$；

2. (2)

   设 $b_n=x_n-\sqrt{2}$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，证明：$T_n<2(3-\sqrt{2})$。