2025 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 10 题

解答

$y$ 轴与 $\Gamma$ 只有一个交点，故 $l$ 不是 $y$ 轴，可设 $l:y=kx+1$。$x=0$ 时右侧点集要求 $y=0$，与直线不符，所以交点的横坐标均非零。

当 $k=0$ 时，$y=1$ 与 $\Gamma$ 只有两个交点，不合题意，故 $k\ne 0$。将直线方程代入点集条件，当 $x>0$ 时得到

当 $x<0$ 时得到

每个方程至多有两个根，故四个交点要求 (1) 有两个不同正根、(2) 有两个不同负根。两式根的乘积均为 $1/k^2>0$，因而所需条件分别为

化简并结合 $k\ne 0$，得到

不妨令 $x_1,x_2$ 为 (1) 的两根，$x_3,x_4$ 为 (2) 的两根。由韦达定理，

所求和为 $2-4k$，故其取值范围为