2022 年山东预赛

思路

正数b、c给定和积的存在条件为和至少二倍积的平方根；根式和平方可化成和与积。平方比较前先检查两边非负。

想法从哪来：约束对b、c对称，先用和与积替换它们，便都成为a的函数。候选取等点可能在b=c处，但不能把这一猜想当作整个问题的降维；应利用两数存在的必要条件先界住a的范围。目标的中间根号因此有简单下界，另两个根号先相加再平方，可把b、c完全压成一个乘积根式。若想证明固定常数下界，平方后右边有时已非正，此时不应再无条件平方；以它变号处划分a区间，正的一段才比较平方并因式分解。最后看两个下界是否在同一组正数上同时取等，才能合成真正最小值。

约束先把 $b+c$、$bc$ 都表示成 $a$ 的函数。分别给出 $\sqrt{b+c}$ 和另外两项之和的锐利下界，并检查它们能在同一点同时取等。