2023 年北京预赛

解答

设 $n^2+2023n=s^2$，则 $s>n$，且

记两正奇因子为 $U<V$，则 $UV=7^2\cdot 17^4$，$U<2023$，并有 $n=(U+V-4046)/4$。对于 $0<U<2023$，$U+2023^2/U$ 随 $U$ 增大严格减小，所以应取小于二千零二十三的最大因子。 写 $U=7^{a}17^b$，$0\le a\le 2,0\le b\le 4$。若 $b\ge 3$ 已超界；$b=2$ 时小于界的最大值为二百八十九；$b=1$ 时最大为 $49\cdot 17=833$；$b=0$ 时至多四十九。因此取 $U=833,V=4913$，得