2017 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 10 题

解答

（1）设 $\{a_n\}$ 的公差为 $\delta$。则

所以 $b_{n+1}-b_n=3\delta (a_{n+1}-a_n)=3{\delta }^2$ 为常数，故 $\{b_n\}$ 是等差数列。

（2）由第一问及两个公差均为 $d\ne 0$，得到 $3d^2=d$，故 $d=1/3$。此时 $b_n=a_n+2/9$。设 $a_s+b_t=k\in \mathbb{Z}$，则

即

右边是模 $3$ 余 $1$ 的整数，特别地不为零。因此 $|18a_1|\ge 1$，即 $|a_1|\ge 1/18$。 反过来取 $a_1=1/18$、$d=1/3$，并按题设定义 $b_n$，则两个公差都为 $1/3$。取 $s=t=2$，有 $a_2=7/18$、$b_2=11/18$，两项和为 $1$。故最小值为 $\boxed{1/18}$。