同一骨架 2025 年云南预赛 · P006403
两题都先把整数对象写成唯一确定的标准参数形式，再按幂指数类别或公比分层，由最大元素的界限定其余参数的整数范围。取整端点与不同参数是否生成同一对象，是从代数关系走到准确计数的关键。
对数题先解出有限种幂指数并检查类别是否相交；等比题先固定递增顺序，再按公比分层数首项。
培玉 · 一试
2024 年江西预赛
F2填空题幂指对
设集合 ，集合
则集合 的元素个数为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
令两个互为倒数的对数之一为新变量，先解出 的幂关系，再计数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
令 ，则 。题设方程化为
故 或 。相应地， 或 。
当 时，，共有 对；当 时，，共有 对。两类不相交，所以
复核
，；因 ，同一有序对不可能同时满足 与 。
方法总结
出现 与 时，可利用二者乘积为 ，把对数方程降为一元二次方程。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
令log_a b为变量后解二次方程得到两种幂关系，分别按平方与四次方上界数底数并排除交叠。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！