2022 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 11 题

解答

记 $L=b-a>0$。先证明 $L\le \pi$。 若区间内包含正弦值为 $1$ 的点，则最小值只能是 $0$，所以区间上 $\sin x\ge 0$。一个连续区间若全落在正弦非负区域，必包含于某个 $[2k\pi ,(2k+1)\pi ]$，因此长度至多为 $\pi$。 若包含正弦值为 $-1$ 的点，同理区间上 $\sin x\le 0$，长度也至多为 $\pi$。 若既不含正弦值为 $1$ 的点，也不含值为 $-1$ 的点，则区间位于两个相邻极值点之间，其长度小于 $\pi$。 所以在所有情形下，$L\le \pi$。

设最大值、最小值分别在 $u,v\in [a,b]$ 处取得，则 $0<|u-v|\le L\le \pi$。由正弦差公式，

因 $L/2\in (0,\pi /2]$，得 $L\ge \pi /3$。

下面证明每个 $L\in [\pi /3,\pi ]$ 都可实现。

当 $\pi /2\le L\le \pi$ 时，取 $[a,b]=[0,L]$，其上正弦的最大值为 $1$、最小值为 $0$，符合要求。

当 $\pi /3\le L\le \pi /2$ 时，选 $c\in [0,\pi /2]$ 满足

右端属于 $[1/\sqrt{2},1]$，故这样的 $c$ 存在。 又因 ${\sin }^2(L/2)\le 1/2$，有

故 $0\le c\le \pi /2-L/2$。 取 $a=c-L/2$，$b=c+L/2$，则 $[a,b]\subseteq [-\pi /2,\pi /2]$，正弦在其上递增，且

所以这一段的每个长度也都可达。综上，所求范围为 $\boxed{b-a\in [\pi /3,\pi ]}$。