同一骨架 2025 年山东预赛 · P006364
切线长的平方可以换成点对圆的幂。两题都先把相关长度统一到点幂或割线乘积，再证明一个新的平方长度恰好对应同一份点幂，完成等幂或相切的判定。
一个比较同一点对两圆的幂，另一个用距离平方与点幂相等识别新切线。
培玉 · 一试
2024 年吉林预赛
F4解答题平面几何综合
如图， 外切于点 ，过 的直线交 于另一点 ，交 于另一点 。 切 于 。在 的延长线上取点 ，使 ，连接 交 于 。求证： 与 相切。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
点幂为点到圆心距离平方减半径平方；外点的切线长平方等于点幂。若E在圆上且DE平方等于D的正点幂，则半径与DE垂直，可逆判切线。
想法从哪来：要证DE相切，直接追切弦角会牵涉F的平方长度条件，不易把它用进去。先改写目标为“DE的平方等于D对第二圆的点幂”，就能与题给的平方关系对接。把B、C放横轴并把BC归一化，第一圆与横轴的两个交点已知，圆方程只剩一个纵向参数；C处的切线幂立即给出一个简单的坐标关系。F在BD延长线上，再用正倍数t表示，另一平方关系也变成一条标量式。第二圆的方程通过A处相切确定，直线CF求第二交点后，只围绕这两条标量关系化简目标平方。
把公切点所在割线取为坐标轴。切线幂条件给出两个简单标量等式，最后用点幂的逆定理判定相切。
解答
作相似变换，取 ，其中 。设 ，，且 。将第一个圆写成
由 是切线，
与 比较得
题设 又给出
两圆在 处外切，比较两圆在 处的法向量，第二个圆可写成
用 参数化直线 ，除去已知根 ，得点 对应
将 代入距离公式，并只用 化简，得
另一方面，将 代入 ，再用 ，得
由点幂定理的逆定理， 与 在 处相切。
复核
保证点幂 为正； 是 与第二圆除 外的交点，因此点幂逆定理的切点正是 。
方法总结
两圆相切并含多条割线时，把公切点所在直线坐标化，可把切线长条件转成点幂，最终以 识别切线。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
要将外切条件转为两圆方程关系，以BF平方约束消去F参数，最终把DE平方严格等同于D对第二圆的幂。
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