同一骨架 2025 年重庆预赛 · P006350
两题都先用正弦或余弦定理把面积、三角比与边联系起来,再用两边平方和对乘积的界提取等腰取等条件。多变量问题因此压成一个角的最值,最后仍要让角条件与等腰条件同时实现。
一题对倒数型三角式作下界并用半角参数,另一题从边的二次约束控制面积上界;不等号方向与正分母要分别核。
三边二次约束下的面积最大值
的三边长 满足
则 的面积的最大值为。
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
令 为边 的夹角。
先回想这道题的想法,再试试当前题。
余弦定理把约束化为 与 的关系;再用 控制乘积,即可只剩一个角变量。
记 为边 的夹角,令 。由余弦定理
故
因为 ,所以
设三角形面积为 ,则
又因为 ,且
所以
从而
取 、 时,原条件成立,且由余弦定理 ,此时
因此最大值为
等号同时要求 与 ;所给 均为正且满足三角形不等式,因此等号构形真实存在。
三边二次约束下的面积最值,可用余弦定理把一边消去,再以 提取等腰等号条件,最后处理单一角变量。
需以ab和夹角C把加权边条件化成面积上界,再最大化sin C/(8-6cos C)并核a=b的等号与指定角相容;一旦选定边角变量后路线成熟。
同一骨架 2025 年重庆预赛 · P006350
两题都先用正弦或余弦定理把面积、三角比与边联系起来,再用两边平方和对乘积的界提取等腰取等条件。多变量问题因此压成一个角的最值,最后仍要让角条件与等腰条件同时实现。
一题对倒数型三角式作下界并用半角参数,另一题从边的二次约束控制面积上界;不等号方向与正分母要分别核。
已记下,谢谢!