2026 年江苏预赛

思路

参数和与积描述弦时，两实端点的存在由相应二次方程判别式为正保证。直线过定点可用该点到两个动点的斜率相等验证，但分母为零的情形须先排除或改用行列式。

想法从哪来：弦端点和两处切线都在同一抛物线上，选抛物线横坐标作参数，可让弦和切线公式同时简化。弦过定点先给参数和、积之间的一条关系，切线交点恰好也只用这两个对称量表示，所以应先求交点轨迹，而不是直接优化两点距离。 得到一条轨迹直线后，最短距离是垂距，但仍需检查垂足确能由两个实交点产生。第二问改看弦中点：所有过原定点的弦中点落在同一条辅助抛物线上，两中点的横坐标又分别等于两条弦的斜率。将两参数关系整理成关于一的平移乘积，便容易寻找使两条中点连线斜率相同的固定点。

把抛物线上的点写成参数形式 $\left(t,t^2/2\right)$，弦方程、切线方程以及弦中点都只由两参数的和与积表示。 先利用弦过定点 $P$ 消去参数积，可直接求出切线交点 $Q$ 的轨迹；第（2）问再把 $AB,CD$ 的中点放到同一条辅助抛物线上，并将直线 $PQ$ 的斜率转化为两个中点横坐标 之间的关系。