2018 年黑龙江预赛 · 第 22 题

解答

域为 $x>0$，$f^{\prime }(x)=(n-x)/x^2$。（1）在二处斜率为一，故 $n/4-1/2=1$，得 $\boxed{n=6}$。（2）在 $[1,+\infty )$ 上，若 $n\le 1$，函数递减，最大值为 $\boxed{m-n}$；若 $n>1$，先增后减，最大值为 $\boxed{m-1-\ln n}$。（3）当 $n=1$ 时，两零点存在必有 $m>1$，且 $0<x_1<1<x_2$。记 $h(x)=1/x+\ln x$，令 $t=1-x_1\in (0,1)$。有 $K(t)=h(1-t)-h(1+t)=2t/(1-t^2)+\ln [(1-t)/(1+t)]$，$K(0)=0$，$K^{\prime }(t)=4t^2/(1-t^2{)}^2>0$。所以 $h(2-x_1)<h(x_1)=m=h(x_2)$。由于 $h$ 在一以上严格递增，得 $2-x_1<x_2$，即 $\boxed{x_1+x_2>2}$。