培玉 · 一试
2013 年河南预赛 · 第 4 题
F2填空题向量的数量积与几何意义
在 中，三边长分别为 ，则
的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
三条首尾相接的有向边向量之和为零。
思路
任意两条的和等于第三条的反向，因此可由三个模平方直接求两两数量积，避免求每个角。
解答
记
则 ，且 。所以
同理
代入原式得
复核
三条向量按 首尾相接，其中 与 方向相反。若改用同起点余弦定理，也必须保留这个负号。三边满足严格三角形不等式，原构型有定义。
方法总结
三角形有向边的数量积可用向量闭合关系和模平方差统一计算；先处理方向，再代入边长，能减少补角带来的符号错误。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
三条有向边首尾闭合，可由模平方差统一求两两数量积；须先辨别边向量方向，再带入边长，避免把补角的符号当作同起点夹角。
已记下，谢谢！