2010 年陕西预赛 · 第 9 题

解答

记 $b=|AC|,c=|AB|$。因 $bc\cos \theta =8>0$，有 $0<\theta <\pi /2$，且面积 $S=bc\sin \theta /2=4\tan \theta$。题给界等价于 $2-\sqrt{3}\le \tan \theta \le \sqrt{3}$，故 $\boxed{\theta \in [\pi /12,\pi /3]}$。目标化简为 $f(\theta )=1+\sqrt{3}\sin 2\theta +\cos 2\theta =1+2\sin (2\theta +\pi /6)$。相位区间为 $[\pi /3,5\pi /6]$，正弦最大为一、最小为二分之一，因此 $\boxed{f_{\max }=3,f_{\min }=2}$，分别在 $\theta =\pi /6,\pi /3$ 取得。