2025 年江苏预赛

思路

若固定正数 $c$ 对所有 $0\le x<T$ 都满足 $xc<2$，就有 $Tc\le 2$，这是实数序关系的极限性质，不是函数连续性。零点阈值法比较的是自变量落在哪个区间。

想法从哪来：给定零点会在函数方程里迅速传播，先把第二变量取成这个零点，右侧就出现一整段平移后的零值。结合此前都非零且函数非负，可以确定一个精确的正值区间与零值区间。 随后固定正值区间内的第二变量，让第一变量移动。右侧跨过零值分界的位置已知，而左侧乘着一个固定正数，是否为零完全取决于内层自变量是否跨界。因此同一个分界必须同时在两边发生，给出函数值的下界与上界。取趋近分界的第一变量只是在对固定实数作夹逼，并未使用函数连续性。解出分段候选后应代回整个方程，包含第二变量在零值区间以及端点，确认没有只利用必要条件。

先取 $y=2$ 得到 $[2,+\infty )$ 上恒为零；再利用“恰在 $2$ 前非零”的分界确定 $f(y)$。