一试训练题

解答

$f(x)=x⟺x^2-2x+1=0$，二重不动点 $x=1$。计算 $f(x)-1=\frac{3x-3}{x+2}$，所以 $\frac{1}{f(x)-1}=\frac{x+2}{3(x-1)}=\frac{1}{3}+\frac{1}{x-1}$。于是 $\frac{1}{f^{(n)}(x)-1}=\frac{1}{x-1}+\frac{n}{3}$。取 $x=4$，$n=2026$：$\frac{1}{f^{(2026)}(4)-1}=\frac{1}{3}+\frac{2026}{3}=\frac{2027}{3}$，所以 $f^{(2026)}(4)=1+\frac{3}{2027}=\boxed{\frac{2030}{2027}}$。