易混 2024 年内蒙古预赛 · P006561
两题都从特定点附近的展开寻找临界参数，但局部结论与全域条件不能互代。判断局部极小值要查看首个非零项及其奇偶；证明全半轴不等式还必须给整个区间有效的下界。
一题在低阶项消失时继续检查下一阶，另一题用端点极限只得到必要条件，再用全局指数界证明充分性。
培玉 · 一试
2023 年吉林预赛
F3解答题导数的应用
已知函数 。若对任意 ，都有 成立， 求实数 的取值范围。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
思路
把 附近的必要条件与指数函数的二阶 Taylor 下界配合起来。
解答
令 。所需不等式为
当 时，它要求
令 得必要条件 。 反之，若 ，由 ，
故
复核
时原式恒取等号；极限给出的端点 已由指数下界直接验证可以取到。
方法总结
含参数的全区间指数不等式，可由端点局部展开给必要条件，再用全局 Taylor 下界证明充分性。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需先从x=1右侧变化提取A>=-1/2，再用匹配二次约束验证临界参数充分，边界分析是关键路线。
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