2010 年中科大少年班初试 · 第 11 题

解答

由 $2{\sin }^2((A+B)/2)=1+\cos C$，首条件等价于 $\cos C+\cos 2C=0$，得 $\cos C=1/2$ 或 $-1$。后者不符合内角范围，所以 $\boxed{C=\pi /3}$。半径 $R=2$，面积 $S=2R^2\sin A\sin B\sin C=4\sqrt{3}\sin A\sin B$。因 $A+B=2\pi /3$，$\sin A\sin B=[\cos (A-B)+1/2]/2\le 3/4$。故 $\boxed{S_{\max }=3\sqrt{3}}$，在 $A=B=C=\pi /3$ 时取得。