专题地图 › 复数的三角形式与指数形式
2024 年贵州预赛
F3填空题复数的三角形式与指数形式
已知复数 z1,z2 满足 ∣z1+z2∣=5，∣z1−z2∣=53，
argz1−z2z1+z2=90∘,
则
log5(z1z2)2024+(z1z2)2024=.
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：4048
解析
思路
以 u=z1+z2,v=z1−z2 表示交叉共轭乘积，辐角条件会把它化为模长 25 的特殊角复数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
试着想起：2026 年江西预赛 · P006085
正实数 a,b,c 满足
a+b=36+ab,a+c=16+2ac,b+3c=50−b2+c2.
求
(a−b−3c)2+3b2
的值。
解答
令 u=z1+z2,v=z1−z2，则 u/v=i/3，∣u∣2=25,∣v∣2=75。由 z1=(u+v)/2,z2=(u−v)/2 得
z1z2=25e−2πi/3.
另一项是其共轭，因而
(z1z2)2024+(z1z2)2024=2⋅252024cos34048π=−252024.
所求为 4048。
复核
2024≡2(mod3)，故余弦值为 −1/2；绝对值后为 252024=54048。
方法总结
已知和、差的模与夹角时，换元 u=z1+z2,v=z1−z2 能直接控制共轭乘积。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先用和差的比锁定相位，求z1乘共轭z2的极形式，再利用共轭幂和与三周期把大指数化简。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：复数幂和商：模与辐角分开算、用共轭和倒数提取实数量
专题卡：高次幂和幂的和：模单独算，方向按周期算、共轭复数的幂相加：成对配起来，只留实部
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同一骨架 2026 年江西预赛 · P006085
两题都把和、差的模与方向信息转成交叉共轭乘积。实部由长度平方关系确定，虚部或相位再由模和有向条件补足，因而可直接计算目标，无需逐个求原复变量。
前题将实二次型配成两个复向量，利用正变量确定虚部符号；后题先换成两个复数的和差，辐角条件固定其相对方向。
培玉 · 一试