2024 年山东预赛

解答

设 $u,v>0$，$A=(-u,1-u^2),B=(v,1-v^2)$。抛物线在横坐标 $t$ 处的切线为 $y=1+t^2-2tx$。两条切线的横截距分别为

交点纵坐标为 $1+uv$。故所围三角形面积

令 $p=uv$，则

令 $t=\sqrt{p}$，右端为 $\frac{1}{2}(t^3+2t+t^{-1})$，在 $t^2=1/3$ 时最小，值为

取 $u=v=1/\sqrt{3}$ 时各步等号同时成立。