2022 年全国高中数学联赛一试（A1 卷） · 第 7 题

解答

记 $L=2\sqrt{3}$，取 $B=(0,0,0)$，$C=(0,L,0)$，$A=(L,0,0)$。 由 $BC\perp CD$，可设 $D=(p,L,h)$，且 $p^2+h^2=L^2=12$。 底面 $ABC$ 的面积为 $L^2/2=6$。由体积条件，

反射坐标系可取 $h=3$，于是 $p=\sqrt{3}$ 或 $p=-\sqrt{3}$。图中 $H=(p,L,0)$ 是 $D$ 在平面 $ABC$ 上的正投影。 设两异面直线所成角为 $\theta \in [0,90^{\circ }]$，则

若 $p=\sqrt{3}$，分母为 $\sqrt{24}$，故 $\theta =45^{\circ }$； 若 $p=-\sqrt{3}$，分母为 $\sqrt{48}$，故 $\theta =60^{\circ }$。 因此答案为 $\boxed{45^{\circ }\text{ 或 }60^{\circ }}$。