2018 年辽宁预赛 · 第 6 题

解答

设 $z_1=u+vi$，则 $z_2=(1-u)+(\sqrt{3}-v)i$。由 $|z_1|=|z_2|$，得

因 $z_1{\bar{z}}_2$ 为纯虚数，其实部为零，所以

结合前式可得 $u^2+v^2=2$。代入 $u=2-\sqrt{3}v$ 后，解得

或

再由 $u=\sqrt{3}a-1$、$v=\sqrt{3}-b$，分别得到 $a=b=(\sqrt{3}-1)/2$ 或 $a=b=(\sqrt{3}+1)/2$。因此