2022 年全国高中数学联赛一试（A1 卷） · 第 8 题

解答

设所有元素的总和为 $S$。五行和相同给出 $5\mid S$，列和两两不同给出

故 $S=10$ 或 $15$。将全部元素 $0,1$ 互换，两类矩阵一一对应，以下计数 $S=10$ 的一类。

此时每行和为 $2$，列和恰为 $0,1,2,3,4$。先固定这些列的次序为上述顺序。 和为 $4$ 的列中唯一的 $0$ 所在行记为 $R$，有 $5$ 种选择；和为 $1$ 的列中唯一的 $1$ 所在行记为 $T$。

若 $T=R$，每行已填的两列之和均为 $1$，故和为 $2$、$3$ 的两列必须逐行互补。任选其中两行在和为 $2$ 的列填 $1$，有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ 种。

若 $T\ne R$，$T$ 有 $4$ 种选择。第 $R$ 行在和为 $2$、$3$ 的两列中均须填 $1$，第 $T$ 行均须填 $0$，其余三行各填一个 $1$。和为 $2$ 的列还须在这三行中选一行填 $1$，有 $3$ 种，另一列随之确定。

所以固定列和次序时有 $5(10+4\cdot 3)=110$ 个矩阵。五个列和不同，任意置换列会得到 $5!$ 个不同矩阵，故所求总数为