2023 年四川预赛

思路

抛物线x²=4y的参数点为(2p,p²)，切线y=px-p²。恒等式 $(2p,p^2-1)=(1+p^2)(\sin 2\alpha ,-\cos 2\alpha )$，α=arctan p，把焦点方向与二倍角相连。

想法从哪来：抛物线上两切线的交点经常比两个切点本身更简洁，先用标准切点参数写切线，再联立，外点的坐标恰是两参数的和与积。外点在水平线上，就固定了积，接触弦方程的截距随之固定，第一问由此自然出现。第二问不能只算两个斜率夹角的正切，因为倍角关系容易混入补角。将焦点到参数点的向量用二倍角表达，可直接读出射线方向；再用参数积为负且绝对值大于一确定两切线方向差在哪个半区，选出实际普通角。这样得到倍角关系时，角的支路已经一并证明。

焦点和顶点先确定抛物线为 $x^2=4y$。用参数 $p,q$ 表示两个切点，切线交点条件会直接给出 $pq=-2$；第 (1) 问由弦方程得到，第 (2) 问把切线倾角与焦点到切点的方向角联系起来。