2015 年中科大少年班初试 · 第 6 题

解答

积为正且和为二十七，三个数若不全正，只能为两负一正。此时写为 $-u,-v,c$，其中 $u,v>0$，有 $c=27+u+v>27$ 且 $c\mid 200$，所以 $c\ge 40$。于是 $uv=200/c\le 5$，但 $u+v=c-27\ge 13$，与 $u+v\le uv+1\le 6$ 矛盾。 故三数全正。最小者 $a<\sqrt[3]{200}<6$ 且整除二百，只须 $a=1,2,4,5$。对应 $b+c=27-a,bc=200/a$：$a=1$ 无实根；$a=2$ 得 $(b,c)=(5,20)$；$a=4$ 判别式为三百二十九，非平方；$a=5$ 得无序根二与二十，不符合 $a<b$。所以唯一为 $(2,5,20)$，$\boxed{c=20}$。