培玉 · 一试
2016 年山西预赛 · 第 4 题
F2填空题解不等式
设 为正整数，使得 介于 与 之间，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先比较两个分数的大小，再把“夹在两者之间”改写成正整数的相邻区间，避免只用小数试值。
解答
因 ，有
因此题意等价于 ，亦即
由 ，可得 ，故中间常数严格在4与5之间。因此 。
复核
代入 ，两个分数为 、。它们均为正数，比较平方得 ，所以确有 。相邻整数条件同时保证唯一性。
方法总结
分式中的整数参数若只出现在连续分母中，可先化成常数加倒数，再通过倒数的单调性锁定唯一相邻整数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先排定两个分式的大小，再借倒数比较把正整数参数限制在唯一的相邻整数区间。
已记下，谢谢！