2015 年湖北预赛 · 第 10 题

解答

设 $(p+1)/2=a^2$、$(p^2+1)/2=b^2$，其中 $a,b$ 为正整数。 $p=2$ 不满足第一式；由 $p=2a^2-1$ 为质数，知 $a\ge 2$。 两式相减得

故质数 $p$ 整除 $b-a$ 或 $b+a$。由于 $p>1$，有 $a<b<p$， 从而 $0<b-a<p$，所以只能 $p\mid b+a$，特别地 $b+a\ge p$。 又 $p-a=2a^2-a-1>0$，于是 $b\ge p-a$ 可以平方，得到

因此 $a\le 2$，结合 $a\ge 2$ 得 $a=2$、$p=7$。 检验 $(7+1)/2=4$、$(7^2+1)/2=25$ 都是完全平方数，故唯一且最大的质数是 $\boxed{7}$。 质数条件用于从乘积整除推出一因子整除；有限枚举不能替代这一步。