同一骨架 2018 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 2 题 · P007361
先作固定空间点到平面的垂足，再用直角三角形把角度限制等价改写为平面内的半径范围；最后与动点原有区域相交，而非只做单向估计。
前题角度有上下界，直接在整个平面形成圆环；后题只有角度上界，外边界来自圆锥底面，垂足都须单独排查。
培玉 · 一试
2018 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 2 题
F2填空题空间角与距离
设点 到平面 的距离为 ，点 在平面 上，使得直线 与 所成角不小于 且不大于 ，则这样的点 所构成的区域的面积为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
作垂足，把线面角转化为直角三角形中的角；角度的双侧限制将转为平面内到垂足距离的双侧限制。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
设 为 在平面 上的垂足，。当 时，线面角 ，且
由 ，得 ；反过来满足该距离限制的点都符合角度要求。因此区域是以 为圆心、内外半径分别为 的闭圆环，面积为
复核
内圆边界对应 ，外圆边界对应 。 时线面角为 ，本来就应排除。
方法总结
固定点到平面的距离给定时，线面角限制可借正投影转为平面圆盘或圆环问题。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
垂足与正切把角度区间转为半径区间，圆环模型明确。
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