2015 年辽宁预赛 · 第 16 题

（25 分）设双曲线 $C : \frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{5} = 1$ 的左右两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 为双曲线上一动点，且在第一象限内，已知 $△ P F_{1} F_{2}$ 的重心为 $G$ ，内心为 $I$ 。

(1)
问是否存在点 $P$ ，使得 $I G ∥ F_{1} F_{2}$ ？若能，求出点 $P$ ；若不能，请说明理由。
(2)
设 $A$ 为双曲线 $C$ 的左顶点，直线 $l$ 过右焦点 $F_{2}$ 与双曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点，若 $A M, A N$ 的斜率为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = - \frac{1}{2}$ ，求直线 $l$ 的方程。